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1、第三章 线性系统的时域分析法3.1 引言,分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。系统的时域分析，就是对一个特定的输入信号，通过拉氏反变换，求取系统的输出相应。由于系统的输出两量一般是时间的函数，故称这种相应为时域相应。实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些
2、系统加上各种输入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。,3.1.1 典型试验信号 Typical test signals,(1) 实际系统的输入信号不可知性(2)试验信号是时间的简单函数，便于分析。这些信号易于在实验室中获得。,一阶跃函数,二斜坡函数（匀速函数）,R=1时，称为单位阶跃函数，记为l(t) 。R(S)=1/S。,R=1时，称为单位斜坡函数。,三抛物线函数
3、（匀加速函数）,R=1/2时，称为单位抛物线函数。,四脉冲函数,五正弦函数,当 时，则称为单位脉冲函数。,在分析控制系统时，究竞选用哪一种输入信号作为系统的试验信号，则应视所研究系统的实际输入信号而定。如果系统的输入信号是一个突变的量，则应取阶跃信号为宜；如果系统的输人信号是随时间线性增长的函数，则应选斜坡信号，以符合系统的实际工作情况；如果系统的输人信号是一个瞬时冲击的函数，则显然选脉冲信号最为合适。,3.1.2 动态过程和稳态过程,瞬时响应和稳态响应 Transient Response & Steady_state Response1、 瞬态响应 指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由
4、于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。2 、稳态响应 是指当 t 趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输入量最终复现输入量的程度。控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性。如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。,在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性
5、，以确定对输入信号跟踪的误差大小。,动态性能指标：,在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在初使条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0），对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。,动态性能指标,延迟时间 ：（Delay Time）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。上升时间（Rise Time）响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快,峰值时间 （Pe
6、ak Time）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。,动态性能指标,调节时间 ：（Settling Time）响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%）作，超调量（Maximum Overshoot）：指响应的最大偏离量h(tp)于终值之差的百分比，即,或,评价系统的响应速度；,同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。,评价系统的阻尼程度。,3.2 一阶系统的时域分析,用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。图3-3（a）所示的RC电路，其微分方程为,其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。,当初
7、使条件为零时，其传递函数为,这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。,下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。,3.2.1 单位阶跃响应Unit-Step Response of First-order System,因为单位阶跃函数的拉氏变换为,，则系统的输出由下式可知为,对上式取拉氏反变换，得,响应曲线在,时的斜率为,，如果系统输出响应的速度恒为,，则只要tT时，输出c(t)就能达到其终值。,由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。动态性能指标：,3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应Unit-impulse response of first-order sys
8、tems,当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即,这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为,其表达式为,3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应Unit-ramp Response of first-order Systems,当,对上式求拉氏反变换，得：,因为,所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为,上式表明：一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同,由于系统存在惯性，,从 0上升到1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。,减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟
9、踪斜坡信号的稳态误差。,3.2.4 一阶系统的单位加速度响应,上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。,表3-1一阶系统对典型输入信号的响应,微分,微分,等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。,3.3 二阶系统的时域分析Transient-Response Analysis and Steady-State Error Analysis of Second-order Systems,二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方
10、程的控制系统。3.3.1 二阶系统的数学模型随动系统A Servo System（位置控制系统）如图3-6所示。,该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。,输入电位计电刷臂的角位置,，由控制输入信号确定，角位置,就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置,，由输出轴的位置确定。,电位差,就是误差信号。,桥式电位器的传递函数,该信号被增益常数为,的放大器放大，（,应具有很高的输入阻抗和很低的,输出阻抗）放大器的输出电压作用到直流电动机的
11、电枢电路上。,电动机激磁绕组上加有固定电压。如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。,(3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为：,（3-10）,电动机的转矩系数,为电枢电流,对于电枢电路,（3-11）,电动机电枢绕组的电感和电阻。,电动机的反电势常数，,电动机的轴的角位移。,电动机的力矩平衡方程为：,（3-12）,J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。,（3-13）,开环传递函数（即前向通路传递函数）因为反馈回路传递函数为1,（3-14）,如果略去电枢电感,（
12、3-15）,增益,阻尼系数，由于,电动机反电势 的存在，增大了系统的粘性摩擦。,开环增益,机电时间常数,不考虑负载力矩，随动系统的开环传递函数简化为：,（3-16）,不考虑负载力矩，随动系统的开环传递函数简化为：,相应的闭环传递函数,为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（3-17）表示为如下标准形式,（3-18）,自然频率（或无阻尼振荡频率）,阻尼比（相对阻尼系数）,二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示,（3-18）,自然频率（或无阻尼振荡频率）,阻尼比（相对阻尼系数）,二阶系统的动态特性，可以用,和,加以描述,二阶系统的特征方程：,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 Unit-St
13、ep Response of Second-Order Systems,阻尼比,是实际阻尼系数F与临界阻尼系数,的比值,临界阻尼系数，,时，阻尼系数,两个正实部的特征根 发散,，闭环极点为共扼复根，位于右半S平面，欠阻尼系统,，为两个相等的根,，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡,，两个不相等的根,(1)欠阻尼(,)二阶系统的单位阶跃响应,令,衰减系数,阻尼振荡频率,，由式（3-18）得,对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为,时，,这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为,故称为无阻尼振荡频率。,由系统本身的,结构参数确定,(2)临界阻尼(,),临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应,当,时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程，,(3)过阻尼( ),图3-11表示了二阶系统在不同,值瞬态响应曲线,3.3.3 二阶系统阶跃响应的性能指标欠阻尼情况,在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。,二阶系统一般取,其它的动态性能指标，有的可用,精确表示，如,有的很难用,准确表示，如,可采用近似算法。,
