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1、戴氏英语培训学校数学基础班经典讲义 教师：谢焕钢1平面向量复习指导教师：谢焕钢 15198285767一、 考试要求：1.向量的概念，掌握向量的加法的减法运算，掌握实数与矢量积的运算。2.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标，概念，掌握平面向量的坐标 运算，理解通过建立平面直角坐标系，将向量的运算转化为坐标的代数运算，实现了形与数的转化。3掌握平面向量的数量积及其几何意义，掌握向量垂直的条件，了解用平面向量的数量积处理有关长度，角度和垂直的问题。4掌握线段的定比分点坐标公式和线段中点坐标公式，平移公式。二、 教材分析：平面向量的基本定理是说明同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的
2、线性组合，它是平面向量坐标表示的基础，也是平面图形中任一向量都可由某两个不共线向量量化的依据这节内容以共线向量为基础，通过把一个向量在其他两个向量上的分解，说明了该定理的本质学习时无须严格证明该定理，只要弄清定理的条件和结论，会用该定理就可以了向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫“向量的初等运算 ”由平面向量的基本定理，知任一平面内的直线型图形都可表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量形式，再通过向量的运算，有时能很容易证明几何命题因此，向量是数学中证明几何命题的有效工具之一为降低难度，目前要求用向量表示几何关系，而不要求用向量
3、证明几何命题平面向量的基本定理的理解是学习的难点，而应用基本向量表示平面内的某一向量是学习的重点三、 高考趋势：1 随着新教材的逐步推广，使用“平面向量”将会成为命题热点，而且将从对平面向量的基本性质、基本运算的考查为主，逐步过渡到重视对轴象的向量符号的理解能力，灵活解决问题的能力的考查。2 仍旧遵循“在知识网络交汇处设计试题”的原则，重视考查学生的综合能力。比如，从近几年的新高考卷子中，更加体现了这一命题立意。因此在复习时，要重视向量与其它知识的交叉、融汇。3 向量的应用非常广泛，它可以应用于几何、代数、三角及一些实际的应用性问题，随着向量知识的深入，以向量为工具的题目已经出现在高考中，这种
4、趋势以后还会加强。将戴氏英语培训学校数学基础班经典讲义 教师：谢焕钢2一个实际问题，转化为向量之间的关系问题，用向量建立一个数学模型是一个难点问题。四、 主要知识点梳理：1）向量是数形结合的典范。向量的几何表示法有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。2）向量运算中的基本图形：向量加减法则：三角形或平行四边形；实数与向量乘积的几何意义共线；定比分点基本图形起点相同的三个向量终点共线等。3） 向量的三种线性运算及运算的三种形式。向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果
5、是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运 算 图形语言 符号语言 坐标语言+ =OABC- =记 =(x1,y1)， =(x1,y2)OAB则 + =(x1+x2,y1+y2)- =（x 2-x1,y2-y1）加法与减法+ =B实数与向量的乘积=AaR记 =(x,y)a则 =(x,y)两个向量的数量积 =| | |abcos记 =(x1,y1), =(x2,y2)ab则 =x1x2+y1y24） 运算律加法： + = + ，( + )+ = +( + )ababcabc实数与向量的乘积：( + )= + ；(+) = + ，
6、( )=() aaa两个向量的数量积： = ；( ) = ( )=( )，ababaab( + ) = + abcac说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法戴氏英语培训学校数学基础班经典讲义 教师：谢焕钢3则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如( )2=ab2ba5） 重要定理、公式（a）平面向量基本定理；如果 + 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平1e2面内任一向量 ，有且只有一对数数 1， 2，满足 = 1 + 2 ，称 1 + 2a aee为 ， 的线性组合。2e12e向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐
7、标，即若A(x，y)，则 =（x,y） ；当向量起点不在原点时，向量 坐标为终点坐标减去起点坐OAAB标，即若 A（x 1,y1） ，B（x 2,y2） ，则 =(x2-x1,y2-y1)AB（b）两个向量平行的充要条件符号语言：若 ， ，则 =ab0ab坐标语言为：设 =（x 1,y1） ， =(x2,y2)，则 (x1,y1)=(x 2,y2)，即a，或 x1y2-x2y1=021yx在这里，实数 是唯一存在的，当 与 同向时，0；当 与 异向时，0，0ED则 = +C | |=| |=1B =| |，=| |OEOEC 中，E=60 0，OCE=75 0，由 得：00045sin|CE6
8、i|O75sin|E6)23(56sin7|C|E03i4|O|0 65,6)23(5 OB3AC说 明 ： 用 若 干 个 向 量 的 线 性 组 合 表 示 一 个 向 量 ， 是 向 量 中 的 基 本 而 又 重 要 的 问 题 ， 通常 通 过 构 造 平 行 四 边 形 来 处 理例 2、已知ABC 中，A（2，-1） ，B（3，2） ，C（-3，-1） ，BC 边上的高为 AD，求点 D和向量 坐标。D戴氏英语培训学校数学基础班经典讲义 教师：谢焕钢5解题思路分析：用解方程组思想设 D（x，y） ，则 =（x-2，y+1）A =（-6，-3） ， =0BCDBC -6(x-2)-
9、3(y+1)=0，即 2x+y-3=0 =(x-3，y-2)， -6(y-2)=-3(x-3)，即 x-2y+1=0 由得： 1yx D（1，1） ， =（-1，2）A例 3、求与向量 = ，-1）和 =（1， ）夹角相等，且模为 的向量 的坐标。a3(b32c解题思路分析：用解方程组思想法一：设 =（x，y） ，则 = x-y， =x+ ycac3bc3 =ab |c| y3x3即 )2(又| |=c x 2+y2=2 由得 或 （舍）213y213yx =c),(法二：从分析形的特征着手 | |=| |=2ab =0 AOB 为等腰直角三角形，如图戴氏英语培训学校数学基础班经典讲义 教师：
10、谢焕钢6 | |= ，AOC=BOCOC2 C 为 AB 中点 C（ ）13,说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。例 4、在OAB 的边 OA、OB 上分别取点 M、N，使| | |=13，| |OAON|=14，设线段 AN 与 BM 交于点 P，记 = ， = ，用 ， 表示向量 。OBAaBbabP解题思路分析： B、P、M 共线 记 =s a)s1(3bsOA)s1(3BsOMs1sO同理，记PNtA = b)t1(4at , 不共线b 由得 解之得：)t1(4s3st38t29s b2a18OP说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如 s，t
11、）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于 s，t 的方程。例 5、已知长方形 ABCD，AB=3，BC=2，E 为 BC 中点，P 为 AB 上一点（1）利用向量知识判定点 P 在什么位置时，PED=45 0；（2）若PED=45 0，求证：P、D、C、E 四点共圆。解题思路分析：利用坐标系可以确定点 P 位置如图，建立平面直角坐标系则 C（2，0） ，D（2，3） ，E（1，0）设 P（0，y） =（1，3） ， =（-1，y）EP 1|,| 2戴氏英语培训学校数学基础班经典讲义 教师：谢焕钢7 =3y-1EDP代入 cos450= |E|解之得
12、（舍） ，或 y=221y 点 P 为靠近点 A 的 AB 三等分处（3）当PED=45 0时，由（1）知 P（0，2） =（2，1） ， =（-1，2）DE =0EP DPE=90 0又DCE=90 0 D、P、E、C 四点共圆说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：建立平面直角坐标系；设点的坐标；求出有关向量的坐标；利用向量的运算计算结果；得到结论。平面向量一、选择题1若 (2，4)， (1，3) ，则 ( )ABCBA(1，1) B(1，1)C(3，7) D( 3，7)2已知向量 a(1，n)，b(1，n) ，若 2ab 与 b 垂直，则|a| ( )A1 BC2 D43已知平面向量 a(
13、1，2)，b(2，m)，且 ab，则 2a3b ( )A(5，10) B(4，8)C(3，6) D( 2，4)4在ABC 中， 若点 D 满足 ，则 ( )ACcB, CADA Bb12bc35C Dc3215已知平面向量 a(x，1)， b(x，x 2)，则向量 ab ( )A平行于 x 轴 B平行于第一、三象限的角平分线C平行于 y 轴 D平行于第二、四象限的角平分线二、填空题戴氏英语培训学校数学基础班经典讲义 教师：谢焕钢86已知平面向量 a(1，1)，b(1，1) ，则向量 _ba2317设向量 a(1，2)，b(2，3) ，若向量 ab 与向量 c( 4，7)共线，则_8已知向量 a 与 b 的夹角为 120，且| a|b| 4，那么 b(2ab)的值为_9已知向量 a(1， )，b(2，0) ，则| ab|_ 310在ABC 中， ，A60 ，则 _6|,5|CABACB三、解答题11若点 A( 1，1) ，B(1，3)，C(x，5) 共线，求点 C 的坐标及 中实数 的B值12已知 e1、e 2 是夹角为
