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1、 http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司2007 年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（重庆卷）共 15 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B ）=P（A ）+P（B）.如果事件 A、B 相互独立，那么 P（AB ）=P（A ）P（B）.如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率Pn(K)= .knkpC)1(一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若等差数列a n的前 3 项和 S3
2、=9 且 a1=1,则 a2 等于A.3 B.4 C.5 D.61.A2.命题“若 x21 或 x1 D.若 x 1 或 x-1,则 x212.D3.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成A.5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分3.C4.若(x+ )n 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为x1A.10 B.20 C.30 D.1204.B5.在ABC 中,AB= ,A=45,C=75,则 BC=3A. B. C.2 D.32 35.A6.从 5 张 100 元，3 张 200 元,2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张,则所取 3 张
3、中至少有2 张价格相同的概率为A. B. C. D.41120794246.C7.若 a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项 ,则 的最大值为|baA. B. C. D.15242527.B http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司8.设正数 a,b 满足 (x2+ax-b)=4,则 =limx nnxba2li1A.0 B. C. D.148.B9.已知定义域为 R 的函数 f(x)在(8,+) 上为减函数,且函数 y=f(x+8)为偶函数,则A.f(6)f(7) B.f(6)f(9) C.f(7)f(9) D.f(7)f(10)9.D10.如题(10)图,在四边形 ABC
4、D 中, =4, |DCBA|BDA=4, =0,则 的值为|DCDCBA)(题(10)图A.2 B. C.4 D.2 2410.C二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，把答案填写在答题卡相应位置上.11.复数 的虚部为_.32i11. 5412.已知 x,y 满足 则函数 z=x+3y 的最大值是_.,142,xy12.713.若函数 f(x)= 的定义域为 R,则 a 的取值范围是_.2ax13. -1,014.设a n为公比 q1 的等比数列,若 a2004 和 a2006 是方程 4x2-8x+3=0 的两根,则a2006+a2007=_.14.1815.某校要
5、求每位学生从 7 门课程中选修 4 门,其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有_种.(以数学作答 )15.2516.过双曲线 x2-y2=4 的右焦点 F 作倾斜角为 105的直线,交双曲线于 P、Q 两点，则|FP|FQ|的值为_. http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司16. 38三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 13 分,其中()小问 9 分,( )小问 4 分.)设 f(x)=6cos2x- sin2x.()求 f(x)的最大值及最小正周期 ;()若锐角 满足 f()=3- ,求 tan 的
6、值.32517. .(本小题 13 分)解:()f(x)=6 xsinco1=3cos2x- sin2x+33=2 ( cos2x- sin2x)+321=2 cos(2x+ )+3.36故 f(x)的最大值为 2 +3;最小正周期 T= =.()由 f()=3-2 得 2 cos(2+ )+3=3-2 ,故 cos(2+ )=-1.3636又由 00)在 x=1 处取得极值-3-c, 其中 a,b,c 为常数.()试确 a,b 的值;()讨论函数 f(x)的单调区向 ;()若对任意 x0,不等式 f(x)-2c 2恒成立,求 x 的取值范围.20.(本小题 13 分)解：() 由题意知 f(
7、1)= -3-c，因此 b-c= -3-c，从而 b=-3.又对 f(x)求导得f(x)-4ax 3lnx+ax4 +4bx3x1=x4(4alnx+a+4b).由题意 f(1)=0，因此 a+4b=0，解得 a=12，()由( )知 f(x)=48x 3lnx (x0)，令 f(x)=0 ，解得 x=1.当 01 时，f (x)0，此时 f(x)为增函数.因此 f(x)的单调递减区间为 (0，1)，而 f(x)的单调递增区间为(1，+).()由( )知，f(x)在 x=1 处取得极小值 f(1)=-3-c，此极小值也是最小值，要使 f(x)-2c 2 (x0)恒成立，只需-3-c-2c 2.
8、即 2c2-c-30，从而 (2c-3)(c+1)0解得 c 或 c-1.3所以 c 的取值范围为(+，-1 ，+ ).2321.(本小题满分 12 分,其中()小问 5 分,()小问 7 分.)已知各项均为正数的数列a n的前 n 项和 Sn满足 S11,且 6Sn=(an+1)(an+2),nN +.()求a n的通项公式;()设数列b n满足 an( -1)=1,并记 Tn 为b n的前 n 项和,求证:b3Tn+1log2(an+3),nN +.21.(本小题 12 分)()解：由 a1=S1= (a1+1)(a1+2)，解得 a1=1 或 a1=2.由假设 a1=S11，因此 a1=
9、2.6又由 an+1=Sn+1=Sn= (an+1+1)(an+1+2) (an+1)(an+2)，6 http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司得 (an+1+an)(an-1-an-3)=0，即 an+3-an-3=0 或 an+1=-an，因 an0，故 an+1=-an 不成立，舍去因此 an+1-an=3，从而a n是公差为 3，首项为 2 的等差数列，故a n的通项为 an=3n-1.()证法一：由 a (2 -1)=1 可解得kbn=log2(1+ )=log2 ；n1从而 Tn=b1+b2+bn=log2( ).35613n因此 3Tn+1-log2(an+3)-l
10、og2( )3 .2又 f(n)=( )3 ，则35612.23)(5()(1nnnf因(3n+3) 3-(3n+5)(3n+2)2=9n+70，故f(n+1)f(n).特别地 f(n)f(1)= 1，从而 3Tn+1-log2(an+3)=log2f(n)0，07即 3Tn+1log2(an+3).证法二：同证法一求得 bn 及 Tn.由二项式定理知，当 c0 时，不等式(1+c) 31+3c 成立.因此不等式有3Tn+1=log22(1+ )3(1+ )3(1+ )3151log22(1+ )(1+ )(1+ )-n=log22 =log2(3n+2)=log2(an+3).83证法三：同
11、证法一求得 bn 及 Tn.令 An= ，B n= ，23561467n31Cn= .4782因 ，因此 A AnBnCn= .313n32从而3Tn+1=log22( )2=log22A5613nlog22AnBnCn=log2(3n+2)=log2(an+3).证法四：同证法一求得 bn 及 Tn.下面用数学归纳法证明：3T n+1log2(an+3). http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司当 n=1 时，3T 1+1=log2 ， log2(a1+3)=log25，47因此 3T1+1log2(a1+3)，结论成立.假设结论当 n=k 时成立，即 3T1+1log2(a
12、1+3)，则当 n=k+1 时，3Tn+1+1-log2(an+1+3)=3Tn+1+3bn+1-log2(a2n+3)log2(an+3)-log2(an+1+3)+3bn+1=log2 )3(5k因(3k+3) 3-(3k+5)(3k+2)2=9k+70，故 log2 0.2)3(5k从而 3Tn+1+1log2(an+1+3). 这就是说，当 n=k+1 时结论也成立.综上 3Tn+1log2(an+3)对任何 nN，成立.22.(本小题满分 12 分,其中()小问 4 分,()小问 8 分.)如题(22)图,中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F(3,0),右准线 l 的方程为:x=12
13、.()求椭圆的方程;()在椭圆上任取三个不同点 P1、P 2、P 3，使P 1FP2= P FP3=P 3FP1，证明为定值，并求此定值.|1| 32FPF题(22)图(22)(本小题 12 分)解：() 设椭圆方程为 =1.2byax因焦点为 F(3，0),故半焦距 c=3.又右准线 l 的方程为 x= ，从而由已知c2 http:/ 或 http:/中鸿智业信息技术有限公司=12，x 2=36，ca2因此 a=6，b= .2372ca故所求椭圆方程为 =1.36yx()记椭圆的右顶点为 A，并设AFP 1=， (i=1，2，3) ，不失一般性，假设0 3 ，且 2=1+ ， 3=1+ .4又设点 Pi 在 l 上的射影为 Qi，因椭圆的离心率 e= ，从而有1ac|FP1|=|PiQi|e=( -c-|FPi|cos i)eca2= (9-|FPi|cosi) (i=1，2，3).解得 (1+ cos
