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1、 1函数的奇偶性一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数 的定义域内任意一个 ：)(xf x 是偶函数；)(ff 奇函数；)(xf)(函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。二、函数的奇偶性的几个性质、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个 都必须成立；x、可逆性： 是偶函数；)(xff)(f奇函数；、等价性： )(xff 0)(xff、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 轴对称；y、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的判断判断函
2、数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查 是否与 、 相等，判断步骤)(xf)(xff如下：、定义域是否关于原点对称；、数量关系 哪个成立；)()(xff例 1：判断下列各函数是否具有奇偶性、 、 xf2)(3243)(xxf、 、 1f 2f,1 2、 、xxf2)( 221)(xxf解：为奇函数 为偶函数 为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。例 2：判断函数 的奇偶性。)0()(2xf.)(,)( )()(0,)(: 222为 奇 函 数故总 有 有时即当 有时即当解 xffxf x
3、fff第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。命题 2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交
4、集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如 f(x)=x(x-1,1),g(x)=x(x-2,2)，可以看出函数 f(x)与 g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间-1，1上有定义且 f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数 f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。命题 3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与 f(|x|)都是偶函数。此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|= 不能保证 f(-x)=f(x)或 f(-x),0(),xf=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数 f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如
5、果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数 f(|x|)是偶函数。命题 4 如果函数 f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数 f(x)是奇函数或偶函数。 3此命题错误。如函数 f(x)= 从图像上看，f(x)的图像既不关于原),12(,Nnx点对称，也不关于 y 轴对称，故此函数非奇非偶。命题 5 函数 f(x)+f(-x)是偶函数，函数 f(x)-f(-x)是奇函数。此命题正确。由函数奇偶性易证。命题 6 已知函数 f(x)是奇函数，且 f(0)有定义，则 f(0)=0。此命题正确。由奇函数的定义易证。命题 7 已知 f(x)是奇函数或偶函数，方程 f(x)=0 有实根，那么方程
6、 f(x)=0 的所有实根之和为零；若 f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程 f(x)=0 有奇数个实根。此命题正确。方程 f(x)=0 的实数根即为函数 f(x)与 x 轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若 f(x0)=0，则 f(-x0)=0。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有 f(0)=0。故原命题成立。五、关于函数按奇偶性的分类全体实函数可按奇偶性分为四类：奇偶数、偶函数、既是奇函数也是偶函数、非奇非偶函数。六、关于奇偶函数的图像特征例 1：已知偶函数 在 轴右则时的图像如图（一）试画出函数 轴右则的图像。)(xfy y七、关于函数奇偶性的简单应用1、利用奇偶性求函数值例 1
7、：已知 且 ，那么8)(35bxaxf 10)2(f )2(f2、利用奇偶性比较大小例 2：已知偶函数 在 上为减函数，比较 ， ， 的大小。)(xf0,)5(f1(f)32-1 1 1-2 XY图（二）0 1 21 XY图（一） 43.利用奇偶性求解析式例 3：已知 为偶函数 ，求 的解析式？)(xf 时当时当 01,)(,10xxf )(xf4、利用奇偶性讨论函数的单调性例 4：若 是偶函数，讨论函数 的单调区间？3)()2()xkxf )(xf5、利用奇偶性判断函数的奇偶性例 5：已知函数 是偶函数，判断 的奇偶)0()(23acxbaxf cxbaxg23)(性。6、利用奇偶性求参数的值例 6：定义在 R 上的偶函数 在 是单调递减，若)(xf)0,，则 的取值范围是如何？123()12(afaf7、利用图像解题例 7（2004.上海理）设奇函数 f(x)的定义域为-5,5.若当x0,5时, f(x)的图象如右图, 则不等式 的解是 .0xf8.利用定义解题例 8.已知函数 ，若 为奇函数，则 _。1().2xfafxa
