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1、穿插滚动练( 三)内容：不等式、函数与导数、三角函数与平面向量、数列、推理与证明一、选择题1 设集合 Ax| x3k 1， kN ，Bx|x7，x Q，则 AB 等于 ()A1,3,5 B1,4,7C4,7 D3,5答案B解析 当 k0 时，x 1；当 k1 时，x4；当 k2 时，x 7，A1,4,7故选 B.2 函数 f(x)a xlog ax 在区间1,2上的最大值与最小值之和为 ，最大值与最小值之积14为 ，则 a 的值为 ()38A. B.12 13C2 D3答案A解析a x与 logax 具有相同的 单调性，最大 值与最小值在区 间的端点处取得，f(1)f(2) ，f(1)f(2)
2、 ，解得 a .14 38 123 在数列a n中，a 11，a n1 a nn(nN *)，则 a100 的值为 ()A5 050 B5 051C4 950 D4 951答案D解析 由于 a2a 11，a 3a 22，a 4a 33， ，ana n 1n1，以上各式相加得ana 1123(n1) ，nn 12即 an 1，nn 12所以 a100 14 951，故 选 D.1009924 已知a n为等差数列，其公差为2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，S n为a n的前 n 项和，nN *，则 S10 的值为 ()A110 B90C90 D110答案D解析a 3a 12da 14
3、，a 7a 16da 112， a9a 18da 116，又a 7 是 a3 与a9 的等比中项，(a 112) 2 (a14)( a116) ，解得 a120.S 101020 109(2) 110.125实数 x，y 满足Error!若目标函数 zxy 取得最大值 4，则实数 a 的值为()A4 B3 C2 D.32答案C解析 画出可行域得直线 yxz 过( a，a)点时取得最大 值，即 2a4，a2.6 若函数 f(x)sin x cos x (0)的最小正周期为 ，则它的图象的一个对称中心为()A. B.( 8，0) (8，0)C. D.( 4，0) (4，0)答案A解析 f(x)si
4、n xcos x sin(x )，这个函数的最小正周期是 ，令 ，解24 2 2得 2，故函数 f(x)sin xcos x sin(2x )，把 选项代入检验得点 为其24 ( 8，0)一个对称中心7 已知函数 f(x)a x1 3(a0 且 a1)的图象过一个定点 P，且点 P 在直线mxny10(m0，且 n0)上，则 的最小值是1m 4n()A12 B16C25 D24答案C解析 由题意知，点 P(1,4)，所以 m4n10，故 17 1m 4n m 4nm 4m 4nn 4nm25，当且仅当 ，即 mn 时， “”成立，所以所求最小值为 25.4mn 4nm 4mn8 已知函数 f(
5、x)是(，) 上的偶函数，且 f(5x )f (5x)，在0,5上只有 f(1)0，则 f(x)在2 012,2 012上的零点个数为 ()A804 B805C806 D808答案C解析 f(5x) f(5x)f(x 5) ，故 f(x)是周期为 10 的偶函数，且 f(9)f(1)0，f(x) 在0,2 010上有 402 个零点，f(2 011)f (1)0，故 f(x)在0,2 012上有 403 个零点，又 f(x)是偶函数，故 f(x)在2 012,2 012上共有 806 个零点9 已知数列a n满足 a1 ，且对任意的正整数 m，n，都有 amn a man，若数列a n的23前
6、 n 项和为 Sn，则 Sn等于 ()A2( )n1 B2( )n23 23C2 D22n3n 1 2n 13n答案D解析 令 m1，得 an1 a 1an，即 a 1 ，可知数列a n是首项为 a1 ，公比为an 1an 23 23q 的等比数列，于是 Sn 2 .23231 23n1 23 2n 13n10已知 g(x)log a|x1|(a0 且 a1)在( 1,0)上有 g(x)0，则 f(x)a |x1| ()A在(，0)上是递增的B在(，0)上是递减的C在(，1)上是递增的D在(，1)上是递减的答案C解析 x( 1,0)，x 1 (0,1)由 g(x)0 知 01，只有 选项 D
7、的图象正确12已知函数 yf( x)是定义在 R 上且以 3 为周期的奇函数，当 x 时，f(x)(0，32)ln(x 2 x1)，则函数 f(x)在区间0,6上的零点个数为()A3 B5 C7 D9答案C解析 当 x 时，x ，f(x)f (x )ln(x 2x1) ；则 f(x)在区间( 32，0) (0，32)上有 3 个零点( 在区间 上有 2 个零点)根据函数周期性，可得 f(x)在 上( 32，32) 0，32) (32，92)也有 3 个零点，在 上有 2 个零点故函数 f(x)在区间0,6上一共有 7 个零点(92，6二、填空题13已知点 A(m，n) 在直线 x2y10 上，
8、则 2m4 n的最小值为_答案2 2解析因为点 A(m，n)在直线 x2y10 上，所以有 m2n1；2 m4 n2 m2 2n22 2 ，当且仅当 m2n 时“”成立2m22n 2m 2n 214若函数 f(x)sin(x )2cos(x)是奇函数，则 sin cos _.答案25解析 f(x) 是奇函数，f(0)0， 则 sin 2cos ，tan 2，由 1tan 2 ，得1cos2 cos2 ，sin cos 2cos 2 .15 2515已知经过计算和验证有下列正确的不等式： 0， n0，则当 mn20 时，有 0，n0，则当10mn20 时，有 0，13n 1 a3n 2由(*)式
9、得 an0，矛盾，所以 a0 时，因 为 an0 恒成立，由 an( ) 1 ，3n 23n 1 33n 1当 n1 时，1 取最大值 ，33n 1 52故 a .52综上所述，a 的取值范围为( ，) 5222已知函数 f(x)ln x .ax(1)当 a0 时，判断 f(x)在定义域上的单调性；(2)f(x)在1 ，e上的最小值为 ，求实数 a 的值；32(3)试求实数 a 的取值范围，使得在区间(1 ，)上函数 yx 2 的图象恒在函数 yf(x )图象的上方解 (1)f(x) (x0)，1x ax2 x ax2当 a0 时，f(x )0 恒成立，故 f(x)在(0，)上是单调递增函数(
10、2)由 f(x) 0 得 xa，当 a1 时，f(x)0 在1，e上恒成立， f(x)在1 ，e上 为增函数f(x)minf(1)a 得 a (舍) 32 32当 ae 时，f( x)0 在 1，e上恒成立， f(x)在1，e上为减函数则 f(x)minf(e) 1 得 a (舍)ae 32 e2当e0，f(x)在 (x0，e)上为增函数f(x) minf(a)ln(a) 1 ，得 a .32 e综上知：a .e(3)由题意得：x 2ln x 在(1， ) 上恒成立，ax即 axln xx 3 在(1，)上恒成立设 g(x)xln xx 3(x1)，则g(x)ln x3x 21.令 h(x)ln x3x 21，则h(x) 6x.1x当 x1 时，h(x )0 恒成立h(x)g(x)ln x 3x 21 在(1 ， )上为减函数，则 g(x)g(1)20.所以 g(x)在(1，)上为减函数，g(x)g(1) 1，故 a1.
