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1、1第五章 力学量随时间的变化与对称性5.1）设力学量 不显含 ， 为本体系的 Hamilton 量，证明AtHdt,2h证.若力学量 不显含 ，则有 ,Ait1h令 CHA,则 ,HCidtit 1,122 hhAt, 25.2）设力学量 不显含 ，证明束缚定态，t 0dt证：束缚定态为:： 。htiEnnnert,在束缚定态 ，有 。r, trtriHn, 其复共轭为 。etittiEnnn* hndtAt,nnnAAt ,nnnHiHit hh1,1nnAiiAit ,。nnii,1,h0,1ih5.3） 表示沿 方向平移距离 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）xx iaPxa
2、Depep a,kik是 的本征态，相应的本征值为ax ikae证： xaxDki,证毕。eeikkixika25.4）设 表示 的本征态（本征值为 ） ，证明mzLhmeyzikikh是角动量 沿空间 方向的分量,nLcossicosinzyxLnL的本征态。证：算符 相当于将体系绕 轴转 角，算符 相当于将体系绕 轴转 角， 原为 的本征态，hyike hzikezmzL本征值为 ，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的 轴（开始时和实验室 轴m z重合）已转到实验室坐标系的 方向，即 方向， 变成了 ，即变成了 的本征态。本征值是状态,nmYln的物理属性，不受坐
3、标变换的影响，故仍为 。 （还有解法二，参 钱. .剖析. P327）h5.5）设 Hamilton 量 。证明下列求和规则rVuPH2。uxEnnm2h是 的一个分量， 是对一切定态求和， 是相应于 态的能量本征值， 。xr n nEH证： （ ）xxxpuipuH21, AnnmE2Emnmxnnxn, )( 2,1Pxun PuixnhnxPuih又 AnmxnEmxnHn,)(nxPuih，2 nxxPuihnxPui,hi2。A Enm2不难得出，对于 分量，亦有同样的结论，证毕。ZY,5.6）设 为厄米算符，证明能量表象中求和规则为prF,3（1）kFHkFEnnk,21证：式（1
4、）左端 令 Annk kFHnn（2）k,计算中用到了公式 。1n由于 是厄米算符，有下列算符关系：FH,（3） FHFHF, 式（2）取共轭 ，得到（4）Akk,k,)3(,k结合式（2）和（4） ，得FHFEnnk,21证毕。5.7）证明 schrdinger 方程变换在 Galileo 变换下的不变性，即设惯性参照系 的速度 相对于惯性参照系 运动KK（沿 轴方向） ，空间任何一点 两个参照系中的坐标满足下列关系：x。 （1） ,tzyvt势能在两个参照系中的表示式有下列关系（2）txVtxtV, 证明 schrdinger 方程在 参照系中表为 K2 Vxmtih在 参照系中表为 KV
5、xti2h其中 ttmxi ,2eph证：由波函数的统计解释， 和 的意义完全相同。， 是 时刻在 点找到粒子的几率密度；txwt,2tx，是 时刻在 点找到粒子的几率密度。 但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即 4（6）,txwt从（1）式有 （6）txwt, 由此可以得出， 和 两个波函数彼此只应差绝对值为 1 的相因子，所以（7）txetxetxtiSiS , , （7）tti,由（1）式， , , x txvt 2x（3）式变为： 2 ,ttVtmh（8） ,txtitxih将（7）代入（8）式，可得 tSxSmtitxVxSmix hh
6、 222 , ti（9）选择适当的 ，使得（9） （4） ，t,。 （10）0xSh（10）0222 tSxSmi h从（10）可得 。 （11）tfxSh是 的任意函数，将（11）代入（10） ，可得tfh2tf积分，得 。Ctmtf为积分常数，但 时， 系和 系重合， 应等于 ，即 应等于 ，故应取 ，从而得到 C0KS00C（12）txmSh2代入（7）式，最后得到波函数的变换规律：5（13）tmxi2 1eph逆变换为 （13）2 tiS相当于式（13）中的 ，带 的量和不带 的量互换。”，“，讨论： 的函数形式也可用下法求出：txS,因 和势能 无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在 和 系中的表现形式，即可确定VK.tx,沿 方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为 mP（14）222 11mPEE据此， 系和 系中相应的平面波波函数为K， （15）hEtPxieh tExPie（1） 、 （14）代入（15） ，即得 tmxi2 1p此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于 和 系的相对速度 ，而与粒子的动量 无关，所以上式适用于任K P何自由粒子。它正是所求的变换关系。6
