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1、一神探狄仁杰的数学解题思路作者：开县温泉中学 谢 媛摘要：解数学题是一个逻辑推理很强的过程，但学生不愿去尝试，导致数学知识不能学以致用，成绩很差，教师可以将逻辑很强的破案故事融入到解题中去，培养学生的解题兴趣，从而提高数学学习效率关键词：隐含条件 ；顺藤摸瓜 ; 关联 ； 一题多解一. 提出问题.普遍的学生存在这样一个问题:上数学课,听讲容易.也满有信心,因为能听懂.但就是不愿意去做数学题,把做数学题看作是一个很大的困难，特别是逻辑性较强的数学题,他们不愿去耐心地进行逻辑推理,不愿去清理已知条件,隐含条件,结论之间的种种联系,但他们的最终借口是太复杂了,不会做.但可想象：如果让他们去看，甚至去
2、亲自尝试侦探电视中的复杂推理过程,哪怕整个案情错综曲折,他们都愿意去做.这是为什么呢?其实很简单,就两个字兴趣.那怎样培养学生对做数学题的兴趣呢?笔者就把他们所感兴趣的,其本质过程也与分析数学解答题非常相似的侦探故事引进了数学课堂,告诉他们你就是神探狄仁杰！二. 分析问题1.案情初审神探狄仁杰在任兰坊城县令的某一天,翻出司库掌固皱敬文五十锭二御金被盗案宗;并在这一天，在准备送给夫人的生日礼物紫檀木盒内发现一张奇怪的纸片:吾饥渴不堪,命在旦夕,望速垂救.白玉辛巳九月使二日；次日,兰坊城里，泼皮阿牛与沈三在酒店发生争执,夜间,两人在紫光寺休息,沈三被杀,身首异处.熟睡的阿牛身上血迹斑斑,结果被当嫌
3、疑犯抓走。狄公面对看似毫无关系的三个案件该怎么办呢？现在,身为神探的我们也遇到同样麻烦的问题:在等边三角形 ABC中.点 D.E 分别在边 BC.AB 上,且 CD=BE.AD 与 CE 交于 F 点.求 DFC的度数。(如图 )案发现场给我们留下的证据很简单:一个等边三角形 ABC，其两边上有两个特殊的点，使两条线段 CD=BE，连接 AD 与 CE 的交点是 F,构成了DFC,这就是我们要追溯的问题。正如狄公三件的案子，看似毫无关联，我们的条件与要求的角度也毫无联系,题中没有告诉任何已知角度数，怎样在其中求得角的度数.这下看来有得狄公忙了,让我们与一起深入分析吧。2.案件分析三狄公通过对沈
4、三的头颅和尸身仔细检查后,发现了案中案-身首并非同一人,此时狄公心里一紧：此案并非如此简单，看来需深入调查，凶手为何杀两人，又麻烦地将其身首交换？看来我们也需仔细分析题中条件，条件也并非如此简单:等边三角形ABC,它到底隐藏了什么? 其实这个条件还很明显：由三角形ABC 是等边三角形.我们可得到非常重要的隐含条件：三边相等.既AB=AC=BC.三个内角相等.即BAC=B=ACB.狄公案中的头颅固然是沈三的,然而那尸身细皮白肉.体态匀键.整个尸身比沈三高出一截，这又会是谁的呢？话分两头说,那紫檀木盒，通过查探,得知是丹青手李珂卖与古董铺，此人性格怪癖，住在荒野。李珂有一胞兄李枚，是一经纪阔爷，两
5、人关系不和.不相往来.当狄公来访问起檀木盒时，他却假装不认识此物。而写纸条的女子白玉是陇石采访使的幕僚吴宗仁的女儿，其夫人是后来嫁给吴宗仁的，并非白玉亲母,为人也很轻薄，其前夫是金匠米大郎.通过狄公精心调查，案中牵连的人物李珂，李枚，吴宗仁，吴夫人以及米大郎等，一个接一个地出现,看来顺藤摸瓜会有收获的。那我们的证据两边 AB=BC 这根藤会结出什么瓜？题中的相等线段 CD=BE 不正在这两边上吗？由它们关联系起来，有什么样的隐含条件出现?那其中剩下的线段是否相等?答案是肯定的，即由 AB=BC， BE=CD.得 AB-BE=BC-CD，既可得 AE=BD.狄公在李柯那得知，他有个帮佣杨茂德，其
6、前是吴宗仁的家仆,又在街坊处得知，这个杨茂德早已与吴夫人有染,但又与吴宗仁女儿（白四玉）私定终身，此人正是这事被逐出吴府，投奔李珂，但李珂说此人近几日不见人影；另处，狄公调查得知失踪的五十锭御金其实藏在紫光寺中.众人想夺财.便害人命。 狄公则想：杨茂德一定有问题！此人一定就是其中夺财人之一,那么他是凶手，还是被害人?作用在何?狄公心里复杂：杨茂德若是凶手，此时的他一定隐藏在不为人知的地方，所以才在李珂眼前消失了好几天。我们挖掘的隐含条件 AE=BD， BAC=B=ACB 又作用在何?我们也需进一步调查，其实，从图形中,我们不难把这些相等元素联系在一起: （如图）原来如此，这一下我们可大有所获了
7、：两个全等三角形中含有三组相等的角和边。这些条件太有利了。此时，狄公也同样大有收获:之前的三个案子正是同一案子-五护卫从紫光寺外的枯井中发现了另一具尸身和一个布包，狄公把布包中的蓝长衫在水中揉拧搓檫，发现水中尘土细屑落入铜盆，用力碾碎深色细粒，登时朱紫杂色特有的丹青颜料，这粉粒不正是李柯家的赫石细屑吗？狄公想：这行头必是杨茂德无疑，此尸身定为沈三之身，但为何凶手要杀两个人交换其身首，如此麻烦？狄公作出了两个推想：一.凶手要掩盖他杀死另一人的罪迹；二.不想暴露沈三的尸身。我们也可学着狄公，从问题出发，分析它与种种条件之间的关系：问题要我们求一个角DFC 的度数，此角的位置并不特殊，悬挂在等边三角
8、形 ABC 内部一个看似不特殊的点处，但我们也可作一猜想：既然题中无任何角度告诉，那就只有一个可能了：DFC 一定与等边三角形ABC 中的隐含条件BAC=B=C=60 0有关联，所以此后我们的眼睛应重点放在这三个内角上。还是来看看问题DFC 可通过什么途径求出，通过仔细观察，可以得出DFC 在图中充当了几个角色：一.CDF 的一个内角（可先考虑。因DFC 在其中） ；六二.AEF 一内角AFE 的对顶角(先求AFE，即得DFC） ；三.ACF 的一外角（DFC=FAC+ACF）;四.四边形 BDFE 的一外角。我们接下来再看狄公如何施展断案技巧:狄公设计让吴宗仁夫妇,李枚,离紫光寺不远的清风庵
9、住持宝月四人同聚紫光寺殿内，李柯被骗躲于其后，未出，经狄公盘问，得知白玉小姐经不住杨茂德的引诱，与其私定终身，但其父则想选个吉日，让小女与李枚完婚，白玉不同意，便逃出门后直奔紫光寺与杨茂德商计，结果不巧撞破凶手机关，凶手杀心陡起，将其推进窑子跌死。回到我们的迷团中来，我们的大胆假设可否象狄公一样顺利进行，四条路行哪条？哪条路能将我们带向DFC 与三内角的关联所在，我们也来一一进行分析：途径一:DFC 是CDF 的一个内角，可另两角CDF 与DCF 与三内角无联系。虽DCF 在其中一内角BCA=60 0之中,但剩的角ACE 与CDF 无多大联系，但记得我们在前面的挖掘中有个重大发现：ACEBAD
10、,可得ACE=BAD,而ABD 的外角CDF=B+BAD,其中七BAD 可用ACE 替换，而ACE+DCF=ACB 是等边三角形的一内角，既此路可将DFC 与其内角联系起来（此路可行） ；途径二：AEF 一内角AFE 的对顶角为DFC，即DFC=AFE，求AFE 即可，其中AFE=180 0-（AEF+ EAF） ，同理，EAF 可用ACE 替，AEF+ACE 既为ACE 中两个内角和，等于 1800-CAE（为等边三角形 ABC 一内角） （此路也可行） ；途径三：DFC 为ACF 的一外角，即DFC=FAC+ACF，同样ACF 可用BAD 来代替，组成其内角BAC=60 0（此路仍可行）
11、；途径四：DFC 为四边形 BDFE 的一外角，即DFC=180 0-EFD，而四边形 BDFE 中其它三角关系：B=60 0，BEF+BDF 中的BEF 可用1800-AEC 代替，且由ACEBAD 得：AEC=BDF，即可去掉AEC.只剩 1800与 600（此路还可行） 。不错，有四条路可通真相所在，看来我们离破案不远了。三真相大白当狄公略施小计，将李柯叫出，吴夫人周氏失声吐出“杨.” ，此刻全场震惊。事情很明显了，杨茂德杀害李柯和沈三，将两人身首调换，制造沈三与阿牛吵架被杀,然后自己一直假扮李珂。本来是李柯八花钱请来杨茂德帮其搜寻寺中御金，杨茂德因奸骗白玉事发，被逐出吴俯，投奔李柯。三
12、天前的晚上，李柯和沈三两人瞒着杨去紫光寺寻宝，结果被杨发现，也偷偷跟去，在寺中，趁李珂大意将其勒死，其后杨又趁机一刀戳死沈三，制造了种种假象，遮掩自己。狄公的三案已结，我们的案子可否能结了呢？有几种方式结？让学生作最后的结案陈词: 解：ABC 是等边三角形 BAC=B=ACB=60 0 AB=AC=BC又CD=BE BC-CD=AB-BE , 即: BD=AE在ACE 与BAD 中AE=BDEAC=B=60 0 ACE BAD（SAS） AC=AB (接下来分 4 种途径)解法一：又在ABD 中，外角CDF=BAD+B 即CDF=ACE+B九在CDF 中，DFC=180 0-(CDF+DCF)
13、=180 0-(ACE+B+DCF)=180 0-(ACB+B)=180 0-1200=600解法二：在AEF 中，AFE=180 0-(AEF+EAF)=180 0-(AEF+ACE)=1800-(1800-EAC)=180 0-(1800-600)=600 对顶角DFC=AFE=60 0解法三：在ACF 中，外角DFC=CAF+ACF=CAF+BAD=BAC=60 0解法四：在四边形 BDFE 中，内角DFE=360 0-B-BEF-BDF=360 0-600-(BEF+BDF)=300 0-(1800-AEC+BDF)=300 0-1800=1200补角DFC=180 0-DFE=180
14、 0-1200=600结词：一道条件看似普所迷离的数学几何题，通过同学们狄公似的断案推理，大胆猜想，总结了四种做题方法，达到一题多解的目的，何之巧妙!也让我们一同感受到了狄仁杰查案的周密，和我们做题的乐趣！三几点体会1.兴趣是学习最好的老师，是学习最大的动力，将学生解数学题与他们感兴趣的狄仁杰断案联系起来，让学生遐想自己就是神探狄仁杰，无比机智能干，没有办不了的案子，没有解不了的题，培养他们对自己的信心，感受做神探狄仁杰的成就感，让学生体会到解数学题是对自己价值的体现和肯定。2.让学生模仿狄仁杰的思路广阔，推理紧密，培养学生解数学题应有的逻辑思维能力，一题多解的广阔思路，体会解数学题的快乐。十3.作为教师，对于学生的学习困难，应从问题的根源出发，从学生的实际出发，替学生找到实际有效地解决方法，让学生轻松克服困难，改掉缺点，成为快乐的学习者。在新课改的指引下，作为教师的角色，更应该体会到学生的主体地位，教师的主导作用，做好学生一路学习的指引明灯，点亮学生浓厚的学习兴趣。参考文献： 狄仁杰短篇小说集-紫光寺 心理学 魏龙渝
