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1、。 1浅谈高等数学中第二型曲面积分的计算方法安庆师范学院数学系 陈定元第二型曲面积分的计算是高等数学中的一个难点。在传统的教科书上关于第二型曲面积分的计算主要通过将其转化为二重积分或利用高斯公式计算，第一种方法运算量较大；第二种方法必须要满足高斯公式成立的条件，学生在使用这两种方法时经常出现错误。定义 设 为光滑的有向曲面，函数 在 上有界，把 任意分割成 块小曲面(,)Rxyzn（ 同时表示第 小块曲面的面积） , 在 坐标面上的投影为(1,2)iSnLiSi iSxoy,若当各小块曲面的直径的最大值 时，),xyii 001lim()(niiixyR存在。则称此极限值为 在有向曲面 上对坐
2、标 的曲面积分（或第二型曲面积分）.,)z,xy记作 。(,)xyzd第二型曲面积分的组合形式为： 。若(,)(,)(,)PxyzdQzdxRyzdx表示稳定流动的不可压缩的流体的速度场， 表示速度(,)(,),vPxyziQxyzjRkrrrr 场中的一片有向曲面，函数 在 上都连续，则()(,)(,)R表示的物理意义为单位时间内流向 指定,ddzxyzdx侧的流体的质量。1 第二型曲面积分的传统计算方法对第二型曲面积分 ,如果按照高斯公式(,)(,)(,)PxyzdQxyzdRxyzd,则 必须是封(,),PQPxyzdQRxyz 闭曲面且 在 所围的空间闭区域内具有一阶连续偏导数。,()
3、()xyz根据曲面积分的运算性质， 可以转化为以,(,)(,)PxyzdxyzdRd下三个第二型曲面积分来计算： , ,1()I2Izx,为此要计算三个二重积分：3(,)IRxyzd, , ,1yzDP2(,)zxDIQydz3(,)xyDIRzdxy其中 分别为曲面 在坐标面 上的投影。 化第二型曲面积分为二重积分计,xyo算时一定要注意曲面的侧：当把 投影到 坐标面时，上侧为正下侧为负；投影到 坐标面yoz前侧为正后侧为负；投影到 坐标面时，右侧为正左则为负。所以在计算时经常要将曲面分为两z个部分，这是因为:如果将 化为关于 的二重积分，需要具备以下两个条1(,)IPxydz,yz件：(1
4、)曲面 必须能够写成形如 的方程。如曲面 为抛物面 ,则不能统一h2zxy2写成形如 的形式，所以计算 时,必须将曲面 : 分成(,)xhyz1(,)IPxyzd2zxy前后两部分： ,（2）在曲面 上， 必须是 的单值函数，21:,:xx,只有这样才能将曲面积分化为二重积分，而在 中 是 的单221:,:zz,z值函数，因此要将其化为两个二重积分。所以计算第二型曲面积分时最多可能要计算六个二重积分，运算量相当大且(,)(,)(,)PxyzdQxyzdRyzd容易出错。2 第二型曲面积分的向量计算形式根据第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系: (,)(,)(,)PxyzdQxyzdRxyzd=
5、 ,其中 为有向曲(coscos)PQRdSAnurcoscsRnrr面 上点 处的单位法向量， 是曲面的面积微元,正好符合第二型曲面积分的物理意义。,)xyz又因为两个向量值函数的数量积 是一个数值函数，所以 是第一型曲面积分，当曲面rgAdSurg方程为 上侧时，单位法向量为 ,曲面面积微元为(,)zfxy 221()fijkxynfr,这就是说在此计算过程中，计算量较大的因子 肯定要221()ffdxy 221()ffxy被约去，实际不需要计算。所以第二曲面积分 =(,)(,PxyzdQxyzdRzd,整个过程只需计算一个二重积分，计算量大大()()xy xyD DfPiQjRkijkd
6、AnSxyrrrurgg减小。例 求 ,其中 为球面 的外侧。322()dzzIxy 22xyzR解此题如果采用将第二型曲面积分化二重积分计算,则需要计算六个二重积分,较为繁琐且运算量较大；若利用高斯公式求,被积函数的分母在原点等于零,不能直接对球体 和22xyzR它的边界 运用高斯公式。因此需要以原点为中心,某个充分小的正数 为半径作球面,内侧为正,用 表示球面 与球面 围22:xyz22xyzR:成的空间区域.对空间区域 和它的边界 ,运用高斯公式,最后可化为 U3 32222()()dxdyxdzdIzy还是和原第二型曲面积分一样，利用向量形式计算则较为方便。 322()zxzI AnSur3其中 ,所以322 221()(),()Axyzxiyjzknxiyjzkxyzurrrrr322()ddIz ()()ijxiyjzkdxy r214xyRR3 结论利用向量形式计算第二型曲面积分直接将第二型曲面积分转化为一个二重积分计算,避免了传统计算方法对曲面侧的判定和高斯公式条件的限定,且计算过程运算量较大的因子可以不需计算,所以其显著优点是物理意义明确,计算过程简单,适用于所有的221()ffxy第二型曲面积分的计算,值得掌握。
