《高中数学 3.3.2简单的线性规划教案（二）新人教a版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 3.3.2简单的线性规划教案（二）新人教a版必修5（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3.2简单线性规划问题教学过程推进新课合作探究师 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.例如，某工厂用 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用 4 个 A 产品耗时 1 小时，每生产一件乙产品使用 4 个 B 产品耗时 2 小时，该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件，按每天工作 8 小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件，应如何列式？生 由已知条件可得二元一次不等式组： .0,124,6yxy师 如何将上述不等式组表示成平面上的区域？生 （板演）师 对照课本 98 页图 3
2、.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点 P（x,y）在上述平面区域中时，所安排的生产任务 x、y 才有意义.进一步，若生产一件甲产品获利 2 万元，生产一件乙产品获利 3 万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件时，工厂获得利润为 z，则如何表示它们的关系？生 则 z=2x+3y.师 这样，上述问题就转化为：当 x、y 满足上述不等式组并且为非负整数时，z 的最大值是多少？教师精讲师 把 z=2x+3y 变形为 ,这是斜率为 ，在 y 轴上的截距为 z 的直线.当 zzy3123231变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示
3、出来.生 当 z 变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）师 由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点例如（1，2） ，就能确定一条直线 ，这说明， 由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线xy332zyx与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截 距 最大时，z 3zz 取最大值，因此，问题转化为当直线 与不等式组确定的区域有公共点时，zxy31可以在区域内找一个点 P，使直线经过 P 时截距 最大.由图可以看出，当直线 经过直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点 M（4，2）时，zxy312截距 最大，最大值为 .此时 2x+3y=14.所以，每天生产甲产品
4、4 件，乙产品 2 件时，工3z314厂可获得最大利润 14 万元.知识拓展再看下面的问题：分别作出 x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0 三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封 闭区域）,再作直线 l0:2x+y=0.然后，作一 组与直线 l0 平行的直线：l:2x+y=t,tR（或平行移动直线 l0） ，从而观察 t 值的变化：t=2x+y 3,12.若设 t=2x+y，式中变量 x、y 满足下列条件 求 t 的最大值和最小值.1,2534xy分析：从变量 x、y 所满足的条件来看，变量 x、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区
5、域的公共区域 ABC.作一组与直线 l0 平行的直线： l:2x+y=t,tR（或平行移动直线 l0） ，从而观察 t 值的变化：t=2x+y 3,12 .(1)从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当 x=0，y=0 时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线 l0：2x+y=0 上.作一组与直线 l0 平行的直线（或平行移动直线 l0)l:2x+y=t,tR.可知，当 l 在 l0 的右上方时，直线 l 上的点（x,y)满足 2x+y0,即 t0.而且，直线 l 往右平移时，t 随之增大（引导学生一起观察此规律） .在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 l 的直线中，以经过点
6、 B（5，2）的直线 l2 所对应的 t 最大，以经过点 A（1，1）的直线 l1 所对应的 t 最小.所以tmax=25+2=12,tmin =21+3=3.(2)(3)合作探究师 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量 x、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于 t=2x+y 又是关于 x、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或
7、最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数 z=2x+y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设 t=0，画出直线 l0.3.观察、分析，平移直线 l0，从而找到最优解 .4.最后求得目标函数的
8、最大值及最小值.布置作业1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本 1 000 元，运费500 元，可得产品 90 千克；若采用乙种原料，每吨成本为 1500 元，运费 400 元，可得产品 100 千克，如果每月原料的总成本不超过 6 000 元，运费不超过 2 000 元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？分析：将已知数据列成下表：甲原料（吨） 乙原料（吨） 费用限额成本 1 000 1 500 6 000运费 500 400 2 000产品 90 100解：设此工厂每月甲、乙两种原料各 x 吨、y 吨，生产 z 千克产品，则,2045061,yxz=90x+1
9、00y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图：由 得.2045,13yx.7,x令 90x+100y=t，作直线:90x+100y=0 ，即 9x+10y=0 的平行线 90 x+100y=t，当 90x+100y=t过点 M（ , ）时，直线 90x+100y=t 中的截距最大.71由此得出 t 的值也最大，z max =90 +100 =440.7120答：工厂每月生产 440 千克产品.2.某工厂家具车间造 A、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张 A、B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时，漆工油漆一张 A、B 型桌子分别需要 3 小时和1
10、小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时，而工厂造一 张 A、B 型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元，试问工厂每天应生产 A、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？解：设每天生产 A 型桌子 x 张，B 型桌子 y 张，则 .0,93,82yx目标函数为 z=2x+3y.作出可行域：把直线 l：2x+3y=0 向右上方平移至 l的位置时，直线经过可行域上的点 M，且与原点距离最大，此时 z=2x+3y 取得最大值.解方程 得 M 的坐标为（2，3）.,938yx答：每天应生产 A 型桌子 2 张，B 型桌子 3 张才能获得最大利润.3.课本 106 页习题 3.3A
11、组 2.第 2 课时推进新课师 【例 1】 已知 x、y 满足不等式组 试求 z=300x+900y 的最大值时的整点,0,53yx的坐标及相应的 z 的最大值.师 分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使 z=300x+900y 取最大值时的整点.解：如图所示平面区域 AOBC，点 A（0，125） ，点 B（150，0） ，点 C 的坐标由方程组2503yx,3,yx得 C（ , ） ，3令 t=300x+900y，即 ,901txy欲求 z=300x+900y 的最大值，即转化为求截距 t900 的最大值，从而可求 t 的最大值，因直线 与直线 平行，故作 的平行线，当过点3txy3
12、1xy31A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点 A 使 z 取最大值，zmax=3000+900125=112 500.师 【 例 2】 求 z=600x+300y 的最大值，使式中的 x、y 满足约束条件3x+y300，x+2y250， x0,y0 的整数值.师 分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.解：可行域如图所示.四边形 AOBC，易求点 A（0，126） ，B（100，0）,由方程组253yx.519,36yx得点 C 的坐标为（ , ).6因题设条件要求整点（x,y)使 z=600x+300y 取最大值，将点（69 ，91） ， （70，90）代入z=60
13、0x+300y，可知当 x=70, y=90 时，z 取最大值为 zmax=60070+300900=69 000.师 【例 3】 已知 x、y 满足不等式 求 z=3x+y 的最小值.,012,yx师 分析：可先找出可行域，平行移动直线 l0:3x+y=0 找出可行解，进而求出目标函数的最小值.解：不等式 x+2y2 表示直线 x+2y=2 上及其右上方的点的集合； 不等式 2x+y1 表示直线 2x+y=1 上及其右上方的点的集合 .可行域如右图所示.作直线 l0:3x+y=0，作一组与直线 l0 平行的直线 l:3x+y=t(tR).x、y 是上面不等式组表示的区域内的点的坐标.由图可知
14、：当直线 l:3x+y=t 通过 P（0，1）时，t 取到最小值 1，即 z min=1.师 评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.师 课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.（1）求 z=2x+y 的最大值，使式中的 x、y 满足约束条件 .1,yx（2）求 z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的 x、y 满足约束条件 .35,1yx教师精讲师 （1）求
15、 z=2x+y 的最大值，使式中的 x、y 满足约束条件 .1,yx解：不等式组表示的平面区域如右图所示：当 x=0,y=0 时，z=2x+y=0 ，点（0，0）在直线 l0:2x+y=0 上.作一组与直线 l0 平行的直线 l:2x+y=t,tR.可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 l 的直线中，以经过点 A（2，-1）的直线所对应的 t 最大.所以 z max=22-1=3.（2）求 z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的 x、y 满足约束条件 .35,1yx解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.从图示可知直线 3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2 ，-1）的直线所对应的 t 最小，以经过点（ , ）的直线所对应的 t 最大.8917所以 z min=3(-2)+(-1)=-11,z max=3 +5 =14.知识拓展某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品 1 t，需耗 A 种矿石 10 t、B 种矿石 5 t、煤 4 t；生产乙种产品需耗 A 种矿石 4 t、B 种矿石 4 t、煤 9 t.每 1 t 甲种产品的利润是
