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1、第一章数学思想方法的两个源头1.简单叙说几何原本的体例。答：几何原本注重知识内在逻辑关系，采用演绎体系的体例，即以一些原始概念和不证明的公设和公理为基础，运用逻辑法则，把几何学中所有定理演绎出来。2.简单叙说九章算术的体例。答：九章算术注重实用，不注意逻辑结构，采用“问题一答案一算法”的体例，即每章首先提出问题，然后给出答案，对有些问题给出解题的方法与计算步骤。3.简单叙说几何原本思想方法的特点。答：（1）封闭的演绎体系因为在几何原本中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要
2、求，原则上不再依赖其它东西。因此几何原本是一个封闭的演绎体系。另外，几何原本的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。所以，几何原本是一个封闭的演绎体系。（2）抽象化的内容几何原本中研究的对象都是抽象的概念和命题，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。因此几何原本的内容是抽象的。（3）公理化的方法几何原本的第一篇中开头 5 个公设和 5 个公理，是全书其它命题证明的基本前提，接着给出 23个定义，然后再逐步引入 和证明定理。定理的引入是有序的，在一个定
3、理的证明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法。4.简单叙说九章算术思想方法的特点？答：（1）开放的归纳体系从九章算术的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。在九章算术中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一类问题的一般解法；再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法；最后，把解决各领域中问题的数学方法全部综合起来，就得到整个九章算术。另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立
4、章写入九章算术。因此，九章算术是一个开放的归纳体系。（2）算法化的内容九章算术在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。因此，内容的算法化是九章算术思想方法上的特点之一。（3）模型化的方法九章算术各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转化为数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型。第二章数学思想方法的几次重要突破1.分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集
5、和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。代数解题方法的基本思想是，首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。它们区别在于算术解题参与的量必须是已经的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处列方程。2.叙说变量数学产生的基本过程。答：第一、解析几何的产生两位法国数学家笛卡尔和费尔马从不同的角度建立了解析几何，费尔马从方程出发研究其轨迹，而笛卡尔从轨迹出发来寻找其方程。但是这却恰好是解析几何基本原理两个方面。第二、函数概念的形
6、成实践的需要和各门科学本身的发展使自然科学转向对运动的研究，对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究，从而引出了函数概念。第三、微积分的产生为了处理 17 世纪的四类主要科学问题，牛顿和莱布尼兹分别以物理学和几何为背景用无穷小量方法建立了微积分。3.比较决定性现象和随机现象的特点，简单叙说确定数学的局限答：人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象，另一类是随机现象决定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果可以唯一确定。因此决定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。对于这类现象
7、，由于条件和结果之间不存在必然性联系。在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。第三章数学的真理性1.简单叙说数学证明的功用。答：核实命题，理解命题，发现命题。2.简单叙说科学证明的结果与数学证明的结果的区别。答：科学证明依赖于观察、实验和理解力，因此经其证明的结果存在着可疑成分，并且常常随着时间的推移，这些结果可能会被拓展或
8、否定。数学证明是以一些基本概念和基本公理为基础，使用合乎逻辑的推理去决定判断是否正确。它依赖于逻辑，是演绎证明，因此经其证明的结果具有绝对性，经得起时间的考验。3.简单叙说公理化的意义。答：(1)它把数学带入了严密阶段。数学的严密性是通过各个分支的公理化来完成的。数学的许多分支都用公理方法建立它们的体系，数学分支只有用公理方法叙述之后，它才被人们完全接受。(2)它把逻辑的严密赋予了某些自然科学领域。除了数学以外，物理学比其他经验科学有更好的理论严密传统，许多物理理论均是公理体系。(3)它体现了人类认识的主观能动性。在一定的条件下，人们在实践的基础上能得到超越当时实际的理论，并在这理论的指导下去
9、进一步认识和改造世界。4.康托尔集合理论的概括原则是什么？引起数学的第三次危机的根本原因是什么？答：概括原则：集合是指满足某一条件 p(x)的 x 全体，即x| p(x)。根本原因：逻辑上矛盾的概括原则。5.简单叙说哥德尔不完备性定理对数学产生的影响。答：(1)它推翻了数学的所有重要领域能被完全公理化这个强烈的信念。(2)它摧毁了沿着希尔伯特曾设想的路线证明数学的内部相容性的全部希望。(3)它对数学基础研究及数理逻辑的现代发展产生了重大的影响。(4)它导致了重新评价某些普遍认可的数学哲学。第四章现代数学的发展趋势1.什么是统一性和数学的统一性？法国的布尔巴基学派是如何来实现数学的统一？答：所谓
10、统一性，就是部分与部分、部分与整体之间的协调一致。数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支相固有的内在联系的体现。它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。法国的布尔巴基学派利用数学内在联系和公理化方法从数学的各个分支中提炼出各种数学结构。从而用数学结构实现了数学的统一。2.简单说明社会科学数学化的主要原因？答：从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面：第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。第三，随着数学的进一步发展，它
11、出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。3.数学机械化的含义是什么？简单叙说数学机械化的意义。答：数学问题的机械化就是要求在运算或证明过程中，每前进一步之后，都有确定的、必然选择的下一步，这样沿着一条有规律的、刻板的道路，一直达到结论。数学机械化的意义在于：(1)数学机械化与公理化一样，对于数学的发展具有巨大现在意义。数学机械化使得一些数学分支成为重要的研究方向，甚至成为数学的主流。这是因为，抽象的数学概念和结论，往往难于掌握和运用。当把抽象的概念变成具体可算的过程，将易于接受和适宜应用。运用机械化思想考察数学，将引导数学家重新认识数学对象，建立新的模式，从而发现新的结论。(2)数学机械化对于数学发展历程的认识具有深渊的历史意义。公理化的思想导源于古希腊，机械化的思想则贯穿于整个中国古代数学。数学机械化思想是我国古代数学的精髓，它与源于西方的公理化思想，对于数学的发展都发挥了巨大作用。
