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1、 3-2 配方法與拋物線 班級： 座號： 姓名： P.1、二次函數的標準式化成通式（配方法）1. 二次函數的通式為 ， ，可觀察到khxay20a（1） 若 ，開口向上； 若 ，開口向下。 1 0a 2 （2）若 越大，則開口越小；若 越小，則開口越大。（3）頂點坐標為（ ， ） 。hk（4）對稱軸的方程式為 。0x 二次函數的通式可以很容易的畫出二次函數的圖形。2. 二次函數的標準式 ， ，化成通式：cbay2acbxay2cabxa222cb24axa2cb422頂點坐標 kh , ac4 ,2例 1： 試求二次函數 的頂點坐標與對稱軸的方xy2程式，並畫出其圖形。例 2： 將二次函數 的
2、圖形，向右移動 2 個單位1632xy長，再向下移動 3 個單位長，則新的二次函數為何？且新的頂點坐標為何？例 3： 二次函數 ， ，若將其圖形向左移cbxay20a3個單位長，再向下移 2 個單位長，則新的二次函數為，求：（1）原二次函數最高點的坐標。4632xy（2） 的值。b二、二次函數圖形與 軸或 軸交點坐標的判別yx二次函數的標準式 ， ，cba20a（1） 與 軸的交點坐標 。y,0解說： ，令 代入，得 ，cbxa2cy故與 軸的交點坐標 。y,0（2） 與 軸交點坐標的討論：x即 與 的交點坐標（共同解） 。cbay20y，判別式 acbD42當 ，有相異實數解，即二次函數與
3、軸交於兩點 1 0Dx，交點坐標為 、0 ,2acb0 ,24acb當 ，有相等實數解（重根） ，即二次函數與 軸交 2 Dx於一點（此點亦為頂點坐標） ，交點坐標為 0 ,2ab當 ，無實數解，即二次函數與 軸沒有交點。 3 0x例 4： 二次函數 的圖形交 軸於 、 兩點，342xyAB與 軸交於 點， （1）求 點的坐標。 （2）求C的AB面積。例 5：二次函數 的圖形交 軸於 、 兩點，812xyxAB與 軸交於 點， （1）求 點的坐標。 （2）求C的AB面積。 3-2 配方法與拋物線 班級： 座號： 姓名： P.2例 6：二次函數 的圖形交 軸於 、 兩點，413xyxAB與 軸交
4、於 點， （1）求 點的坐標。 （2）求C的AB面積。例 7：若二次函數 與 軸相交於兩點，求 的kxy32k最小整數值。例 8：設二次函數 的圖形與 軸只相交於一342kxyx點。 （1）求 的值。 （2）求圖形與 軸的交點坐標。k（3）頂點坐標。例 9：若二次函數 的圖形與 軸不相交，142xmyx（1） 求 的最大整數值。 （2）此時二次函數的開口方向為何。 （3） 頂點坐標為何？例 10：已知函數 的圖形如下圖所)5(7)2(kxky示，試求： k 之值 A 點座標 (圖中 y 軸的正向向上) 例 11：二次函數 ， 的圖形如下，試判別cbxay20a、 、 及 的正負關係 abcD4
5、 0 ； 0 0 ； 0abab0 ； 0 0 ； 0cDcD 0 ； 0 0 ； 0abab0 ； 0 0 ； 0cDcD三、利用幾個點求二次函數1. 給三個已知點其中一點為與 軸的交點坐標yc ,假設此二次函數為 ，cbxa20a例 12：有一二次函數的圖形通過 、 及 三點，1 ,3 ,7 ,求此二次函數。2. 給三個已知點其中兩點為與 軸的交點坐標 、 x0 ,假設此二次函數為 ay例 13： 有一二次函數的圖形通過 、 及 三0 ,2 ,312 ,點，求此二次函數。3. 給兩個已知點其中點為頂點坐標（ ， ） 。hk假設此二次函數為 xay2例 14：有一二次函數圖形的最低點坐標為
6、，且通過1 ,3，求此二次函數。9,1 3-2 配方法與拋物線 班級： 座號： 姓名： P.34. 給兩個已知點與對稱軸的方程式為 。0hx假設此二次函數為 kay2例 15：有一二次函數的圖形通過 、 ，且對稱軸的3 ,1 ,方程式為 ，求此二次函數。3x例 16：設函數 ， 的圖形如下，試求 、cbxay20aa、b之值 。c例 17：如圖，貝克漢丟垃圾的路徑是一個二次函數的圖形，已知貝克漢是在此二次函cxy231數的頂點(即 B 點)將垃圾丟出，且從 點進入筒內，)1,0(A若 B 的坐標為 ，則 b？ ),(a例 18：如下圖，在坐標軸上，當投手投出高飛球，經(9，4)，達最高點(6，
7、5)，則補手接到球時，該球離地面 軸的x距離 。h四、二次函數的最大值與最小值二次函數的標準式 ， ，化成通式：cbxay20a得24 cby頂點坐標 kh , acb4 ,22（1） 當 時，0a，acbxacby 424 22 即當 時， 有最小值 。x2y2 頂點坐標為最低點。（2） 當 時，0a，acbxacby 424 22 即當 時， 有最大值 。x2y2 頂點坐標為最高點。例 19：試判斷下列各函數是否有最大值或最小值，並求其值。（1） （2）23xy 2174xy例 20：求下各函數的最大值或最小值，與最高點或最底點的坐標。（1） （2）1042xy 10632xy 3-2 配
8、方法與拋物線 班級： 座號： 姓名： P.4例 21：在二次函數 中：（1） 有最大值22xyy或最小值？又最大值或最小值是多少？（2）此時 ？x例 22：（1）若二次函數 有最大值 3，求 ？mxy82m（2）若二次函數 ，當 時， 有最ba231y小值 ，求 、 的值。例 23：（1）在二次函數 中，若 ，182xy13x則的最大值與最小值各為何？y（2）在二次函數 中，若 ，則5632xy52x的最大值與最小值各為何？例 24：已知 、 是坐標平面上的兩點，則 的2 ,xA0 ,1BAB最小值為何？又此時 值為多少？x例 25：設 為整數，則 的最大值為何？x2210x五、二次函數的應用
9、問題（1） 將正整數分成兩正數的和，以分成相等兩數的乘積最大；以分成相等兩數的平方和為最小。（2） 以個線段為周長圍成個矩形，以圍成正方形的面積 最大。例 26：如何將 12 分成兩數，使得兩數的平方和為最小？例 27：將 100 公尺的繩子分成兩段，分別以此兩段為成兩個正方形，求兩正方形面積和的最小值。例 28：如何將 15 分成三數，其中兩數為連續整數，使得三數的平方和為最小？例 29：假設 ： 1：2，且 ： 3：4，求 ： ： abbcabc 的最大值。c例 30：發哥想用 135 公尺的繩子靠河的一岸圍出一矩形，但靠岸邊的不需圍(只圍長方形的三邊)，且在與河岸垂直的一邊上，留下 5
10、公尺的通道，則此長方形的最大面積為多少平方公尺？例 31：在時間 t=0 秒時，某位跳水選手從高為 32 呎的平台跳下( 如圖 )。已知在時間為 t 秒時的高度為h= 16t2 16 t 32（呎） ，請問什麼時候達到最高點，+ 3-2 配方法與拋物線 班級： 座號： 姓名： P.5並求出最高點的位置。例 32：果園中種了 25 棵橘樹，每棵平均可生產橘子 450 個， 若在此園中每加種 1 棵，每棵平均產量減少 10 個，問應加種幾棵才能使此園的產量達到最大？最大產量是多少？例 33：臺中電影院放映終極蠢蛋如門票（只有一種）為120元時觀眾有 200 人，如票價每降低 1 元時，則觀眾會增加
11、 5 人，該電影院最多能容納 600 人，該電影院為了要收入最多，則門票要訂為多少元例 34：蓮花旅行社招攬環島旅行團，預定組團 30 人，每人收費 6000 元，若每增加 1 人，每人減收 150 元，若蓮花旅行社欲獲得最大收入，應增加多少人？且最大收入為多少元？例 35：已知 ， ， 為數線上三點，它們的坐標分別為 2，ABP-3， ，設 4 的值為 ，則x2y(1)若 ，試求 ， ， 之值。cbxayabc(2)若 為整數時，試求 的最小值。例 36：如右圖，二次函數的圖形通過原點，且頂點為 (2，4)，E是其內接矩形，則ABCD(1)此二次函數的方程式為何？ (2)矩形 的最大周長是多少？ ABCDOE(2,4)
