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1、离散复正弦信号参数的ML估计及Cramer Rao界在雷达、声纳、通信以及振动工程等领域中经常根据离散观测值（采样序列）对正弦信号的参数进行估计。采用复信号模型给信号分析和处理带来很大方便,因此文献中通常采用复正弦信号模型。本文讨论了根据离散观测值对单一复正弦信号的参数(幅度、频率、相位) 进行了最大似然(ML) 估计并给出了各估计量的Cramer Rao方差下限。一、介绍对于一般的复信号具有 形式，在系统工1exp()kiiiibjwt作中其虚部是实部的希尔伯特变换(例如信号 的希尔伯特变换()mt)而得到的或者根本就不是。本文将讨论单音复正弦1)(*mtt信号( 即上式中的k=1)的参数估
2、计，信号的实部和虚部是实希尔伯特变换与逆变换的关系，而且假定信号和噪声是带限的。设复信号 的实部为 ，则 的虚部为实部()st00cos()bwt()st的希尔伯特变换，即 = 。本文H00inbw中 的幅度 、频率 、相位 为待估计的未知非随机参量，()stb噪声为复高斯白噪声 其中 为 的希尔伯特变换。()Wtt()t()Wt令 ，()(),()XtstYstt。对信号 以采样周期为 ,采样起时时刻()()()ZtXtYt()ZtT为 进行 点采样。0N则 (1) ()()nnnstWt01nN(2) (nYt(3) nnZXY在这里因为噪声为高斯白噪声，由高斯白噪声的性质可知个个高斯白噪
3、声采样值是独立同分布的，即均值是 ，方差为 。N 02由上述可知待估计参数矢量 和 的联合概率密度函数ZXjY为 (4)1222201(;)exp()()NnnNfZ其中: (5)121012021,TNNwbZZXXYYK(6)cos()nnt(7)b二、均方误差下界在估计系统中一般有两主要性质(即无偏性和有效性) 是衡量一个根据现有观测数据所作的估计是否为最佳估计的重要性质。因在本文中我们使用最大似然估计(ML)一般能保持估计量的偏很小，所以对它不作考虑，因此无偏估计量的Cramer-Rao下限适用。对于任何无偏估计量，估计量的均方误差下限是Fisher信息矩阵的逆矩阵 的对角元素。 矩阵
4、的任意元素可表示为J1JJ，其中 ，数学期望与采样()()ij ijijEHlog(;)iiHfZ矢量 有关。估计量的方差满足 ，其中 是 的估计量，ZiiVarJii为 的对角元素。iJ1另外若向量 中有个 未知数，则 矩阵是 矩阵。如果出现pJp其中某个或某几个是已知的，则只需在 矩阵中划去这个元素所在的行与列即可，但是大多数情况 向量中的元素都是未知的。对于本文，当采样结束，联合概率密度函数 就已确定。(,)fZ中的元素 J120Nnnij ijijJ(8) 由上式可求得 (9)2 20002 20 0(n+PQ) ()1 N bTbTnPJ 其中 ， ， 是首个采样10()NnP120
5、()16Nn0tnT值的采样时时刻。以下分别各种情况进行分类讨论。(1)、当相位已知时， 220N 1bJ此时求得21002 (n+PQ) bTJN (2)、当频率已知时， 2201bJ此时可求得2120 NJb(3)、当幅度已知时，2 2000(nN+PQ) ()1 bTbTnNPJ 此时计算得220201220() (Q-P)- TN(QNP)bJnnb (4)、当三个待估计参量中有两个已知时，划去各元素相应的行与列，最后只剩下一个数了，对此只需求这个数的倒数即可。(5)、当三个参量都未知时，2 20002 20 0(n+P) ()1 N bTbTnPJ 此时，22 00212 20 02
6、1() 0 (1) ()1(nN+PQ) 11nbTNbTJnPbb 由此可以得到相应未知参量的CRLB下界为适用于所有情况2()VarbN20220 ()1() 1arbnPQN当 频 率 已 知 时当 频 率 未 知 时22002 ()()1 bTnPQrw当 相 位 已 知 时当 相 位 未 知 时对上述式子可知,当相位已知时，频率估计量的均方误差下界与有关，容易证明当采样时间关于原点对称时，即0n 0(1)2NtT则此界可达到最大值，并且此最大值与相位未知时的下限相等。如果频率已知，那么相位估计的均方误差下界与 无关，若是0t频率未知，则那么相位估计的均方误差下界与 有关。当0t时，相
7、位估计能得到最小的下界并且等于频率已知时的0(1)2NtT下界。另外还要说明一点，估计量的均方误差下界与首次采样时刻具有内在的关联，但是一般都不提及。三、最大似然估计(ML)现在我们来求取未知非随机参量的ML估计量。主要对三个未知参量都未知的情况进行详细讨论，对于其他情况只是给出相应结果。1、一般情况的ML估计就是使得函数 最大，要使得 最大，经(,)fZ(,)fZ(4)式分析，相当于使 最大，即log(,f1220()NnnLXY一旦我们对 的离散观察确定，即 、 、 确定，则 和ZNnXY2nX就是常数，经整理得到要使 最大，即使2nY0L最大。根据(6)、(7)两式带入到上式11200(
8、)()NNnnnLXY重新整理得： (10) 20Rexp()(LbjjwtAb其中10()exp()NnAwZjwT2、所有参量未知现假设本估计中三个参量未知，幅度 。在(10)中，当 固0bw定时经分析当 时 取得最大。0argexp()(jwtAL2max()LbA假设 的估计 使 最大，则 w 2,max()w(11) 最后当 的估计量 时，使(11)式b()bw取得最大, 的最大L2,ax()wbLA最后我们得到的 分别是 的估计。,0,通过观察 和 可知他们都与 没有直接关系，而 与 有直接bt 0t关系。这正好与前述的估计量的均方误差下界与首次采样时刻具有内在的关联相吻合。是 的
9、周期函数，周期为 ，当通过计算求得多个相()Aw2swT等的 最大值时，需要 对 取模值来求得 。但是实际情况中s 信号都会首先通过一个低通滤波器使得所有的输入频率不高于 。sw经研究观察矢量 的DFT( 个 ，其中 )与 得ZNkA0,1NK(A关系可得： ,而对于DFT中的 的计算，可以2(),01,kAkKk使用FFT算法实现，并且计算速度非常快。因此对于本文中高斯白噪声背景下基于离散观察的复正弦信号参数的估计量的计算可以使用计算机来进行计算，可以对估计进行编程仿真。3、所有未知参数的联合ML估计量总结(1)、如果 未知， 取最大值0w MLw0Rexp()( jjtAwA当 相 位 已 知 时当 相 位 未 知 时(2)、如果 未知，则 为0bMLb00Rexp()e()( () jjwtAAw当 频 率 和 相 位 已 知 时当 频 率 已 知 但 相 位 已 知 时当 频 率 未 知 ， 相 位 已 知 时 当 频 率 和 相 位 都 未 知 时(3)、对于 的估计00Rexp()( MLjwtA当 频 率 已 知 时当 频 率 未 知 时4、最后讨论 的估计量 的所具有的性质：w(1)、 的概率密度函数在 (mod )周围是均匀分布的。0sw(2)、 是与 成比例的，但是与 无关。Var2s 0
