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1、火车弯道缓和曲线模型摘要火车行驶过程中会不可避免的遇到弯道问题，我们可以根据物理上的方程 ，火车 m 很大，v 大多数情况也会超过0sintanlhmgmgmgF100km/h，故 F 是一个很大的值，同时，m，v 不变的情况下，R 的增长虽然使 F 降低，但在现实生活中，R 不可能无限扩大，按照我国规定，R 一般稳定在 4000m 以内，故为了降低 F，需抬高外轨，来平衡离心力。 为使等高的直线轨道与外轨超高的圆弧平缓衔接，同时避免离心力的突然出现，要在弯道与直道间加设一段曲线，以使列车受到的离心力从零均匀地增大到 F，外轨超高也从零逐渐增大到 h。所加曲线称为缓和曲线。问题一我们求的是变速
2、前后的缓和曲线，显而易见，在半径、时速和缓和曲线长度都为定值的条件下， 我们可以直接通过方程求解得出缓和曲线的方程。根据以上要求，我们先建立回旋线模型。问题二，车速由 120km/h 提速到 200km/h，而外轨超高不改变，这就是说为了平衡离心力，我们必须扩大转弯半径，同时，缓和曲线也一并延长。和第一题相同，我们仍采用回旋线模型。对于问题三，由于外轨超高的改变，所以转弯半径和外轨超高成为不确定值，在此，我们先定义欠超高/过超高，即实际中内外轨不受压力时的高度与速度恒定对应的高度的差值，然后假设火车的速度 v 为一个误差在 5%的值，可得R、k，然后通过 matlab 软件进行模拟，以求出最优
3、解。综合考虑了内外轨受压程度和曲线长度，由已知的 值和 处超高差和欠高差均值与曲线长度的方程。并设0h定权数，找出两个方程“权值和”最小时的 k，从而使内外轨受压程度和曲线长度都得到优化，使其更符合实际情况。在我们建立的模型中，我们假设火车的运行速度、转弯半径、外轨超高和缓和曲线是影响列车安全运行的主要因素。经过分析可得到列车在过弯道时安全系数与外轨超高、缓和曲线及列车速度有关的表达式，及弯道设计和列车安全运行有关因素之间的关系。一问题重述、火车驶上弯道时，根据力学原理，会产生离心力 F，在轨道的直道与弯道（圆弧）的衔接部，列车受到的离心力由零突变到 F，会损坏线路和车辆，并使乘车人感到不适，
4、甚至发生危险。为此火车轨道在弯道处采取“外轨超高”的办法，即把弯道上的外轨抬高一定高度，使列车倾斜，这样产生的向心力抵消部分离心力，以保证列车安全运行。为使等高的直线轨道与外轨超高的圆弧平缓衔接，同时避免离心力的突然出现，要在弯道与直道间加设一段曲线，以使列车受到的离心力从零均匀地增大到 F，外轨超高也从零逐渐增大到 h。所加曲线称为缓和曲线。二问题分析火车的过弯道受各方面因素的限制，运行速度、转弯半径、外轨超高和缓和曲线是影响列车安全运行的主要因素。火车过弯道时的安全性受外轨超高、转弯半径、速度、缓和曲线、等因素的影响，超高差和欠高差越小，内外轨受压越小，故我们的目标是超高差与欠高差最小。我
5、们在这里要凸显主要因素，忽略次要因素，对弯道中缓和曲线的设计进行分析。因此，对这些因素进行分析和研究是很有意义的。三模型假设 ；1、假设该弯道地处平原，没有火车的爬坡和下坡过程；2、假设当火车弯道半径大于350m 时，转弯轨道宽度不变化；3、假设弯道最大半径不超过 4000m。四主要符号说明R为曲线半径（m）；内外钢轨中心距（mm） ；0lF 、N 为轨道对列车的作用力（N）；未被平衡的超高（mm）;hh标准超高（mm）；最大超高（mm）；max最大欠超高（mm）；2h最大过超高（mm）1v火车运行的速度（m/s）；火车运行的理想速度（m/s）；0 弯道倾角；k回旋线定值；为标准自由落体加速度
6、；g五、问题分析问题一分析：问题一属于解析几何的问题，对于解决此类问题，我们根据计算分析，采用回旋线模型。在 中， 为定值的条件下，h 与 R 成反比。Rvmlhg20gl20在根据假如缓和曲线所上升的高与转弯总的缓和长度成正比，则可得出：h s 0s,020,可知在 v 不变情况下，s 与 R 成反比。可设 1kRs即所求为回旋线。由几何约束知 0)()(dr即为 Rds由积分可得， 12ks11其中 218042mk由 和式可得 Rgvlh0 00Rsgvlh我们将以上的回旋线方程转化成直角坐标下的方程： sin2sikx)co1()co1(ry得 2tansix即 xyrct2xyxk2
7、1arctn2即 arct2yk22arctn)(kyxyx经过近似运算和参考有关书籍 我们可以得到 k6xy3本题中，经计算知最大角 4120Rs在转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车的支持力 的方向不再是竖直的，而是斜向弯道内侧，它与重力 g 的合力指向圆心，成为使火车转弯的向心力设内外轨间的距离为 ，内外轨的高度差为 h，火车转弯的半径为 R，火车0l转弯的规定速度为 如图所示力的三角形得向心力为：0sintalhmgmgF 由牛顿第二定律得： RvF2 所以： Rvmlhg20即： Rgvlh20020Rglvhxyslvarctn202002arctnsxylv当 =
8、200m , =120 kmh , g=9.8 m/s , R=400m 时l2v2得到 0.48m8.963102h问题二分析：问题二车速由 120km/h 提速到 200km/h，而外轨超高不改变，由第一问计算可得 mh428.01问题中提出将速度提升，且外围最大超高不变，由式可以看出最大超高处曲率半径 R 应变大 。当列车行驶到外围超高最大时，其曲率半径 ghlvR021速度由 提升至 后，最大高度不变0v1 lh102010而由向心力方程知 .m021Rv我们仍使用回旋线模型，设 1SK由第一问可知， 恒定不变，即 ，由此可得出040 22102678mRk222 6178arctn)
9、(yxyx近似结果为 309kxyRsglvh15.arctn200问题三分析：由第一问可知， 恒定不变，即 ， 041002Rs依然采用回旋线模型,即 kRS由上计算知，最小半径 200最大高差 kglvRh020曲线长度 00ks考虑到火车在转弯时速度会有些许改变，因为这会影响到内外轨受压力，为了使火车速度变化对内外轨影响最小化，我们考虑欠超高和过超高，即实际中内外轨不受压力时的高度与速度恒定对应的高度的差值（正负） 。我国铁路线路维修规则规定：未被平衡欠超高，一般应不大于 75mm而未被平衡过超高不得大于 50mm。 mRgkvlhgvlh75)2(1102max01 ll 0)(102
10、in02假设火车的速度 v 为 hk/)(则由上式可得 mR283.1因此 0.38k我们取 kRgvklh96.314.52101 而曲线长度 00s对于 k 的变化，取目标函数 ,即求上述条件下 g 最小时的 k。0zshg其中 z 为权数，由 matlab 分析知取 时，回旋线效果最好。412014590mgvlk2245190arctn)(yxyx近似结果为 7633kxyRsxyglvharctn34.1arctn200六、模型评价优点：由于全文的关键点就是缓和曲线的设计，而且火车在由直道向缓和曲线变轨时和由缓和曲线向弯道变轨时的角度 是一个定值，故可由题意计算出问题0一的结果。第二
11、问中，我们以 和 值求出缓和曲线的 k 值，并根据分析，得0h出 这个确定值。226178mk第三问中我们以超高差和欠高差的均值和缓和曲线的长度的加权和为目标函数，并在一定限制条件下，建立线性规划模型，用 matlab 找出较好的权值，以此找出最小的 k，模型较为合理。同时，我们铁路轨道设计者的角度，综合考虑内外轨受压程度和曲线长度，得出了一个比较有实际意义的模型。不足：我们在第三问中考虑速度变化时，未能把现实中弯道的大小代入考虑，故只能用 代替。hkmv/)102(第三问中建立的线性规划模型较为简单，仅考虑内外轨受压程度和曲线长度，并没有把超高变化等其他变化因素，需进一步分析验证。同时，对于题中的火车，我们简单的定义为一个质点，但在实际中火车长度和缓和曲线以及轨道半径的比值决定了火车不能简单的看作一个质点。而且，缓和曲线是一个关于 x，y 的二元函数，我们在分析时简化为三次曲线方程，有一些不太严谨的地方，也会造成误差较大，未能找出更贴近的多项式曲线。参考文献一、 弯道下的火车速度分析二、 缓和曲线的设计三、铁路线路维修规则四、火车大提速的问题
