高中数学 3.3.2简单的线性规划（一）新人教a版必修5

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1、3.3.2 简单的线性规划【教学过程】2.讲授新课1.引例：某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗时 1h,每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h，该厂每天最多可从配件厂获得 16个 A 配件和 12 个 B 配件，按每天 8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：.（1）284160xy（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。（3）提出新问题：进一步，若生产一

2、件甲产品获利 2 万元，生产一件乙产品获利 3 万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件时，工厂获得的利润为 z,则 z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当 x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？把 z=2x+3y 变形为 ，这是斜率为 ，在 y 轴上的截距为 的直线。当23zx233zz 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点， （例如（1，2） ） ，就能确定一条直线（ ） ，这说明，截距 可8x以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线 与不23zy等式组（1）

3、的区域的交点满足不等式组（1） ，而且当截距 最大时，z 取得最大值。因此，问题可以转化为当直线 与不等式组（1）yx确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点 P，使直线经过点 P 时截距 最大。3z（5）获得结果：由上图可以看出，当实现 经过直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点23zyxM（4， 2）时，截距 的值最大，最大值为 ，这时 2x+3y=14.所以，每天生产甲产品 43z14件，乙产品 2 件时，工厂可获得最大利润 14 万元。2、线性规划的有关概念：线性 约束条件 ：在上述问题中，不等式组是一组变量 x、y 的约束条件，这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，故

4、又称线性约束条件线性目 标函数 ：关于 x、y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，叫线性目标函数线性 规划问题 ：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y ）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解3、 变换条件，加深理解探究：课本第 88 页的探究活动（1） 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利 3 万元，每生产一件乙产品获利 2 万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。（2） 有上

5、述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？（3） 典型分析a) 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费 28 元；而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费 21 元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg？分析：将已知数据列成下表：食物 /kg 碳水化合物/kg 蛋白质/kg 脂肪/kgA 0.1

6、05 0.07 0.14B 0.105 0.14 0.07若设每天食用 x kg 食物 A，y kg 食物 B，总成本为 z，如何列式？由题设条件列出约束条件 0,yx.06,.7.14.5,.y05.其目标函数 z=28x+21y.二元一次不等式组等价于 .0,6714,5yx考虑 z=28x+21y,将它变形为 ,这是斜率为 、随 z 变化的一族平行直线.283z34是直线在 y 轴上的截距，当 取得最小值时，z 的值最小.当然直线与可行域相交，即28z28在满足约束条件时目标函数 z=28x+21y 取得最小值.由图可见，当直线 z=28x+21y 经过可行域上的点 M 时，截距 z28

7、 最小，即 z 最小.解方程组 得点 M( , )，因此，当 , 时，z=28x+21y 取最小值，6714,5yx71471x4y最小值为 16.由此可知每天食用食物 A 约 143 克，食物 B 约 571 克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为 16 元.例 1.设 ，式中变量 满足条件 ，求 的最大值和最小值2zxy,xy43521xyz【思维导图】【解答关键】首先作出三条直线 ，然后判断不等式组表示43,52,1xyxyx的平面区域，然后作直线 ，平移此直线确定目标函数取最大值或最小值的点，20把最优解代入 求目标函数的最大（小）值 .zxy【规范解答】作出可行域（如图）

8、.令 ，作直线 ： .把直线 向上平移0z0l20l时，所对应的 的函数值随之增大，zxy从图上可以看出，当直线经过可行域内顶点 B、A 时，分别取得最小值、最大值.2zxy OyxACB430y1x52作直线 20，平移此直线使目标函数取最值作出不等式组表示的平面区域 代入 zy求最值解方程组 ，得 ；431xy(1,)B解方程组 ，得 .352xy(5,)A所以， ， min13zmax21z3.随堂练习1请同学们结合课本 P91 练习 1 来掌握图解法解决简单的线性规划问题.（1）求 z=2x+y 的最大值，使式中的 x、y 满足约束条件 .1,yx解：不等式组表示的平面区域如图所示：当

9、 x=0,y=0 时，z=2x+y=0点（0，0）在直线 :2x+y=0 上.0l作一组与直线 平行的直线:2x+y=t,tR. l可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 的直线l中，以经过点 A（2，-1）的直线所对应的 t 最大.所以 zmax=22-1=3.（2）求 z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的 x、y 满足约束条件.35,1yx解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线 3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的 t 最小，以经过点（ ）的直线所对应的 t817,9最大.所以 zmin=3(-2)+

10、(-1)=-11.zmax=3 +5 =1489174.课时小结5. 作业课本第 93 页习题A 组的第 2 题.五 课堂小结1了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。xy(12,12)(-1,-1) (2,-1)2x+y=0x+y-1=0x-y=0CBAO 21-1-2 -1123xy(98,178)3x+5y=05x+3y-15=0x-y+1=0CBAO 3 x-5y-3=0-1 -1152用图解法解决简单的线性规 划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解六

11、 作业课本 P93 习题 3.3 A 组 3、4 题2.讲授新课线性规划在实际中的应用：线性规划的 理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：范例讲解例 3、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4t 、硝酸盐 18 t；生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t 、硝酸盐 15 t。现库存磷酸盐 10t 、硝酸盐 66 t，在此基础上生产这两种混合肥料。若

12、生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 10000 元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 5000 元。那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？解：设生产甲种肥料 x 车皮、乙种肥料 y 车皮，能够产生利润 z 万元。目标函数为0.5,zxy画出可行域。把 .变形为 2yxz，得到斜率为 2，在 y 轴上的截距为 2z，随z 变化的一组平行直线。由此观察出，当直线 yxz经过可行域上的点 M 时，截距2为最大，即 z 最大。解方程组 1856,40xy 得 M 的坐标为 max2,0.53yzy所 以 ，由此可知，生产甲、乙两种肥料各 2 车皮，能够产生最大的利润，最大利润

13、为 3 万元。变式训练 2 某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为 45 个与 55 个，所用原料分别为A、B 两种规格的金属板，每张面积分别为 2 m2 与 3 m2.用 A 种规格的金属板可造甲种产品3 个，乙种产品 5 个；用 B 种规格的金属板可造甲、乙两种产品各 6 个.问 A、B 两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？思路分析：本题属于给定一项任务，问怎样统筹安排才能使完成这项任务的人力、物力资源量最小的题型.解决这类问题的方法是：首先根据题意列出不等式组（线性约束条件） ，确立目标函数；然后由约束条件画出可行域；最后利用 目标函数平移，在可行域内找出使目标

14、函数达到最小值的点，从而求出符合题意的解.图 3-3-10解：设 A、B 两种金属板各取 x 张、y 张，用料面积 z,则约束条件为 .0,5643yx目标函数 z=2x+3y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图 3-3-10 所示.z=2x+3y 变为 y=- x+ ，得斜率为- ，在 y 轴上的截距为 ，且随 z 变化的一族平行线.32z323当直线 z=2x+3y 过可行域上的点 M 时，截距最小，z 最小.解方程组 得 M 点的坐标为(5,5).,456yx此时 zmin=25+35=25(m2).答：两种金属板各取 5 张时，用料面积最省.3.随堂练习例 1.某运输公司

15、向某地区运送物资，每天至少运送 180 吨该公司有 8 辆载重为 6 吨的 A型卡车与 4 辆载重为 10 吨的 B 型卡车，有 10 名驾驶员每辆卡车每天往返的次数为 A 型车 4 次，B 型车 3 次每辆卡车每天往返的成本费为 A 型车 320 元，B 型车为 504 元试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低解：设每天调出 A 型车 x辆， B 型车 y辆，公司花费成本 z元，则约束条件为104638,yxyN，即104538,xyxN， 目标函数为 32054z作出可行域（如图） ，作直线 0l： 32540xy，平移此直线当经过直线 3与 x轴的交点 (7.5,0)时， z有最小值但 (7.,)不是整点由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是 3250426xy，经过的整点是 (8,0)，它是最优解因此，公司每天调出 A 型车 8 辆时，花费成本最低4.课时小结线性规划的两类重要实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目 标函数。然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即 结合实际情况求得最优解。5. 作业课本第 93 页习题 3.3A组的第