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1、Chapter 2 Mathematical Descriptions of Systems定义 2.1 一个系统在 时刻的状态是一组信息的组合，它和系统的输入 一起可唯一0t 0()ut确定系统的输出 ()y系统数学描述小结系统类型 内部描述 外部描述分布、线性 0()(,)tyGud集中、线性 ()xAtBtuyCD&0,t分布、线性、定常 $0()()tyudsGsiratonl集中、线性、定常 xABuyCD&0()()tyutilChapter 4 State-space Solutions and Realizations线性定常系统状态方程的解 ()0()()tAtAxeBud(
2、)()ttytCeDut$11()(0)()xsIxsACIABs连续状态方程按采样时间 T 离散化0ATAdeBed定义 4.1 设 P 为 非奇异实矩阵，任等价变换 ，那么方程 与原方程代nxPxABuyCD&数等价。 （其中， ）11,APBCD定理 4.1 两个线性定常系统状态方程为零状态态等价（具有相同的传递矩阵）的充分必要条件 m定义 4.2 设 是 的任一基本矩阵，那么 称该方程的状态转()Xt()xAt&100(,)()tXt移矩阵，它同时也是方程 关于初始条件 的唯一解。0(,)tAt,tI线性时变系统状态方程的解 00(),)(,)()txttxBud00,()()()()
3、()ttyCDuttxCt d其中 , ,BDtG定理 4.3 传递矩阵可实现的充分必要条件是该矩阵是正则有理矩阵。时变系统等价状态方程考虑时变系统状态方程 ，引入 时变矩阵 ，令 ，那()xAtBtuyCD&n()Pt()xt么方程 与原方程代数等价，且 ，该等价变换过程为()xAtBtuyCD&r ()()Xtt1 1()()(),()tPtttPBtCtPDt 定理 4.3 存在一个等价变换使 ，其中 是任一常矩阵（只需令 即可）0A0A01()AteX。若需 为零阵，则应选择 ，此时方程简化为0 1()()tXt(),(),()AtBtCDt定义 4.3 在上述等价变换中，若 满足非奇
4、异、连续的条件，且 和 有界，那么该Pt ()Pt1()t变换是李雅普诺夫等价变换。定理 4.4 若线性时变系统状态方程中， ，()AtT1(0)AeXT定理 4.5 一个 脉冲响应矩阵 可实现的充分必要条件是能够分解成qp,G(,)()()GtMtNDt其中，M，N 和 D 分别为 矩阵，该脉冲响应矩阵的 维实现是,qnpn()0()xttuty&gChapter 5 Stability单变量系统 BIBO 稳定性：定理 5.1 一个 SISO 系统 是 BIBO 稳定的充要条件是 绝对可积：0()tygud ()gt（其中 M 为常数）0|()|gtd定理 5.2 如果一个脉冲响应函数为
5、的系统是 BIBO 稳定的，那么当 时：()t t1. 由 激励的稳态响应为 。(),0uta(0)ga2. 由 激励的稳态响应为sin()wt 000|sin()jwtgjw定理 5.3 若一个 SISO 系统的传递函数 为正则有理函数，该系统是 BIBO 稳定的充要条件(s是 的每个极点都具有负实部。()gs定理 5.D1 一个 SISO 离散时间系统 是 BIBO 稳定的充要条件是 绝0kmygugk对可加： （其中 M 为常数）0|kg定理 5.D2 如果一个脉冲响应函数为 的离散时间系统是 BIBO 稳定的，那么当 时：k t1. 由 激励的稳态响应为 。,()uka(1)ga2.
6、由 激励的稳态响应为0sinwk 0 00|)|sin()jwjwetge定理 5.3 若一个离散 SISO 系统的传递函数 为正则有理函数，该系统是 BIBO 稳定的充要()z条件是 的每个极点都具有小于 1 的模。()gz多变量系统 BIBO 稳定性：定理 5.M1 若一个多变量系统的脉冲响应矩阵为 ，该系统是 BIBO 稳定的充要条()ijGtgt件是每一个 绝对可积：()ijgt0|ijijdM定理 5.M3 若一个多变量系统的传递矩阵 为正则有理函数，该系统是 BIBO 稳()()ijs定的充要条件是每一个 的每个极点都具有负实部。()定理 5.MD1 若一个多变量离散时间系统的脉冲
7、响应序列矩阵为 ，该系统是ijGkgBIBO 稳定的充要条件是每一个 绝对可积。 ijgk定理 5.M3 若一个多变量离散时系统的传递矩阵 为正则有理函数，该系统是()()ijzBIBO 稳定的充要条件是每一个 的每个极点都具有小于 1 的模。()g内部稳定性：定义 5.1 一个线性系统的零输入响应称为限界稳定或李雅普诺夫意义下的稳定 是指每一个有限状态初态所引起的响应是有界的。该系统称为渐近稳定是指每一个有限状态初态所引起的响应是有界且当 时趋于零。t定理 5.4 （1）方程 限界稳定的充要条件是 A 的所有特征值具有零实部或负实部，并且xA&零实部的特征值是最小多项式的单根。（2）方程 渐
8、近稳定的充要条件是 A 的所有特征值具有实部。定理 5.D4 （1）方程 限界稳定的充要条件是 A 的所有特征值的模小于或等于1xk1，并且模为 1 的特征值是最小多项式的单根。（2）方程 渐近稳定的充要条件是 A 的所有特征值具有小于 1 的模。A定理 5.5 A 的所有特征值均有负实部的充要条件是：给定任意正定对称阵 N，李雅普诺夫方程MN具有唯一的解 M，且 M 为正定、对称阵。推论 5.5 一个 维矩阵 A 的所有特征值均有负实部的充要条件是：给定任一 矩阵 ，n mn其中 是扁矩阵，并有 ，即列满秩，则N1nNrakA方程 具有唯一的解 M，且 M 为正定、对称阵。Lyapunov
9、:AM定理 5.6 若 A 的所有特征值均有负实部，则 方程 对任意 N 均有LyapunovA唯一解 0AtteNd定理 5.D5 A 的所有特征值的模均小于 1 的充要条件是给定任意正定对称阵 N，方程M具有唯一的解 M，且 M 为正定、对称阵。定理 5.D6 若 A 的所有特征值的模均小于 1，则 方程 对任意 N 均LyapunovMA有唯一解 0()mMAN线性时变系统稳定性1. 线性时变系统 BIBO 稳定的充要条件是存在常矩阵 使得12,M，且1|()|Dt20|(,)|Gtd2. 线性时变系统限界稳定的充要条件是存在有限常数 ，使得 0|(,)|t3. 线性时变系统渐近稳定的条
10、件是：当 时，t0|(,)|t注意线性时变系统渐近稳定与 A 的特征值是否具有负实部无关。定理 5.7 限界稳定性与渐近稳定性在李雅普诺夫变换下保持不变。xA&Chapter 6 Controllability and Observability定义 6.1 状态方程称为可控是指对于任意初态 和任一末态 ，都存在一个输入在有限时间内0x1x使系统状态由 转移到 。否则该状态方程称为不可控。0x1定理 6.1 以下命题等价：1. 维 是可控的。n(,)AB2. 矩阵 是非奇异。 ()()00t tAAAtWceBdeBd3. 可控性矩阵 满秩。p21 nCML4. 矩阵 对于任一 A 的特征值均
11、满秩。()nI5. 若 A 所有特征值具有负实部，那么方程 的唯一解是正定的：WcB0AWceBd系统由 转移至 的输入信号：0x1 11()0()AtAtuteex将此输入信号 代入 得()ut ()0ttxBud1()t能控性指数： 。其中，12ma,)pL12pnL/in(,np推论 6.1 维（A，B）对是可控的充要条件是当 时， 满秩。()BnpABL定理 6.2 系统的可控性在等价变换下保持不变。定理 6.3 （A，B）对的可控性指数集在等价变换或任意调换 B 阵的各列的情况下保持不变。定义 6.O1 一个状态方程称为能观是指对于任何未知的状态初态 ，存在一个有限时间(0)x使得在
12、 已知的输入 和输出 可以唯一确定该状态初态 。否则系统称为不能观。10t1tuy定理 6.4 一个状态方程能观的充要条件是 维矩阵 非奇异。n0()tAWoeCd定理 6.5 对能控的充要条件是 对能观，该定理称对偶定理。(,)AB(,)AB定理 6.O1 以下命题等价：1. 维 是可观的。 n(,)C2. 矩阵 非奇异。0tAWoeCd3. 可控性矩阵 满秩。nq1OnMA4. 矩阵 对于任一 A 的特征值均满秩。()pIC5. 若 A 所有特征值具有负实部，那么方程 的唯一解是正定的： WoAB0AWoed能观性指数： 。其中，12max(,)pL12qnL/in,qq推论 6.O1 维
13、（A，C）对能观的充要条件是当 时， 满秩。()CqnqAM定理 6.O2 系统的能观性在等价变换下保持不变。定理 6.O3 （A，C）对的能观性指数集在等价变换或任意调换 C 阵的各行的情况下保持不变。定理 6.6 对于 维状态方程 ，可构建非奇异矩阵n1()Mcn11nnPqqL其中前 列为原列，后 列任选。作等价变换 或 使原方程变换1,xx为： 1200ccccccxxABuyCDx&定理 6.O6 对于 维状态方程 ，可构建非奇异矩阵 ，其中前 行为n2()Mon12npPpM2原行，后 行任选。作等价变换可使原方程变换为：2210ooooxxBAuyCDx&定理 6.7 任意状态空
14、间方程可同时作能控性和能观性分解，构造与原方程代数等价的状态方程。其中既能控又能观部分与原方程零状态等价，有相同的传递函数。当只考虑输入输出特性时，该方法可作为状态方程的化简。定理 6.8 （1）约当标准形状态方程能控的充要条件是 B 中相同特征值约当块的最后一行线性无关，若无相同特征值，则对应的约当块最后（下）一行为非零行向量。（2）约当标准形状态方程能观的充要条件是 C 中相同特征值约当块的最后一列线性无关，若无相同特征值，则对应的约当块最前（左）一列为非零列向量。推论 6.8 （1）一个单输入约当形状态方程可控的充要条件是每个互异的特征值只对应一个约当块，且 B 阵对应每个约当块最后一行的元素非零。（2）一个单输出约当形状态方程能观的充要条件是每个互异的特征值只对应一个约当块，且 C 阵对应每个约当块最前一列的元素非零。三种可控性定义：1. 将系统状态从任一初态转移至任意末态本书定义的可控性2. 将系统状态从任一初态转移至零到原点的可控性3. 将系统状态从零转移至任意末态能达性在连续时间系统中上述三定义等价，因为 总是非奇异。对于离散时间系统，若 A 非奇异，Ate三者仍然等价，当 A 为奇异时却不是，此时，系统一
