求函数极限方法的若干方法

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1、求函数极限方法的若干方法摘要：关键词：1 引言：极限的重要性极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数 在 处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，=()=0二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。2 极限的概念及性质2.1 极限的概念2.1.1 ,任意的正整数 N，使得当 nN 时就有 。lim= |0

2、| |()|义单侧极限 与 。lim+()= lim()2.2.3 ， 整数 ，使得当 时有 。类似可定义 当 时右极限与左极限： ，。 在此处键入公式。2.2 极限的性质2.2.1 极限的不等式性质：设 ， 。若 ，则 ，当 时有 ；若 ，使得当 时有 ，则 。2.2.1（推论）极限的保号性：设 。若 ,则 ，当 时有 ；若 ，使得当 时有 ，则 。2.2.2 存在极限的函数局部有界性：设存在极限 ，则 在 的某空心邻域 内有界，即 与 ，使得当时有 3 求极限的方法1、定义法 2、利用极限的四则运算性质求极限, 3、利用夹逼性定理求极限 4、利用两个重要极限求极限，5、利用迫敛性求极限,

3、6、利用洛必达法则求极限, 7、利用定积分求极限, 8、利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限 9、利用变量替换求极限, 10、利用递推公式求极限, 11、利用等价无穷小量代换求极限,12、利用函数的连续性求极限, 13、利用泰勒展开式求极限, 14、利用两个准则求极限 15、利用级数收敛的必要条件求极限 16、利用单侧极限求极限 17、利用中值定理求极限3.1 定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设 是一个数列, 是实数,如果对任意给定的 ,总存在一个正整数 ，当 时,都有 ,我们就称 是数列的极限.记为 .例 1 证明证 任给 ，取 ，则当 时有，所以 。3.2 利用极

4、限的四则运算性质求极限设 ， ，则 ， 。例 1 求解 这是求 型极限，用相消法，分子、分母同除以 得，其中 。3.3 利用夹逼性定理求极限当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在,且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。3.3.1（数列情形）若 ，使得当 时有 ，且，则 。3.3.2（函数情形）若 ，使得当 时有 ，又 ，则 。例题 解 ：，其中 ， ，因此。3.4 利用两个重要极限球极限两个重要极限是， 或 。第一个重要极限可通过等价无穷小

5、来实现。利用这两个重要极限来求函数的极限时要观察所给的函数形式，只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时，才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。例题 1 解：令 t= .则 sinx=sin( t)=sint, 且当 时 故 例题 23.5 利用迫敛性求极限,且在某个 内有 ,那么。例 求 的极限解：因为 . 且 由迫敛性知 所以3.6 利用洛必达法则求极限假设当自变量 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数 和 满足：和 的极限都是 或都是无穷大 和 都可导，并且 的导数不为 0 存在（或无穷大），则极限 也必存在，且等于 ，即 = 。利用洛必达法则求极限，可连续进

6、行运算，可简化一些较复杂的函数求极限的过程，但是运用时需注意条件。例题 求解 原式=注：运用洛比达法则应注意以下几点：1、要注意条件，也就是说，在没有化为 或 时不可求导。2、 应用洛必达法则，要分别求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否还是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会错误。3.7 利用定积分求极限利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数 f(x)。把所求极限的和式表示成 f(x)在某区间 上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。例 解 原式= ，由定积分的定义可知。3.8 利用无穷小量的性质和

7、无穷小量和无穷大量之间的关系求极限利用无穷小量乘有界变量仍是无穷小量,这一方法在求极限时常用到。在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时, 这个无穷小量可用它的等价无穷小量来代替,从而使计算简单化。例 解 注意 时， ，。3.9 利用变量替换求极限为将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可以根据极限式特点，适当的引入新变量，来替换原有变量，使原来的极限过程转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。例 已知 试证证 令则 时， 于是 当 时第二、三项趋于零，现在证明第四项极限也为零。因 （当时），故 有界，即 ，使得 。所以原式得证。3.10 利用递推公式

8、求极限用递推公式计算或者证明序列的极限，也是一常见的方法，我们需要首先验证极限的存在性。在极限存在前提下，根据极限唯一性，解出我们所需要的结果，但是验证极限的存在形式是比较困难的，需要利用有关的不等式或实数的一些性质来解决。例 设 ，对 ，定义 。证明且 时，解 对 , ，因为 推出 ，因此，序列 是单调递增且有界的，它的极限 ，设为 ，从递推公式 中可以得出解得 ，即 。3.11 利用等价无穷小量代换求极限所谓的无穷小量即 称 与 是 时的无穷小量，记作，例如 求极限解 本题属于 型极限，利用等价无穷小因子替换 ,，有 = =注：可以看出，想利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无

9、穷小量，如：由于 ，故有 又由于故有 ， 。另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能利用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。小结:在求解极限的时候要特别要注意无穷小等价代换,无穷小等价代换可以很好的简化解题。3.12 利用函数的连续性求极限在 处连续，那么 。若 且 在点 连续，则例 求 的极限解：由于 及函数 在 处连续，故3.13 利用泰勒展开式求极限列举下例题3.14 利用两个准则求极限3.14.1 函数极限迫敛性（夹逼准则）：若一个正整数 ,当 时，则，并且 则 。例题3.14.2 单调有界准则：单调有界数列必有极限

10、，并且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键是要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例题3.15 利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件：若级数 收敛，则 ，首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限。例题3.16 利用单侧极限求极限1） 求含 的函数 趋向无穷的极限，或求含 的函数 趋于 的极限;2）求含取整函数的函数极限;3）分段函数在分段点处的极限;4）含偶次方根的函数以及 或 的函数， 趋向无穷的极限.这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左，右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例题3.17 利用中值定理求极限3.17.1 微分中值定理：3.17.2 积分中值定理