原理及其推断方法

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1、111二、概率论与小概率事件概率论最早起源赌博问题。17世纪中叶，法国数学家帕斯卡（B.Pascal）、费马（P.deFermat）及荷兰数学家惠更斯（C.Huygens）等基于排列组合方法，解决了“分赌注问题”及“赌徒输光问题”，于是出现了概率论。1819 世纪，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间的相似性，从而概率论被广泛应用到这些领域，大大推动了概率论的发展。瑞士数学家贝努利（建立了概率论中的第一个大数定律。随后，经过数学家们不断深入的研究，概率论的理论逐渐成熟。概率在工农业生产、国民经济、现代化科技等方面的应用价值体现越来越广泛，现代日常生活更是与概率有着千丝万缕的联系。概

2、率论是研究随机现象统计规律的一门科学。概率是刻画随机事件发生可能性大小的数量指标。随机事件A 发生的概率一般用 表示，并规定()PA。对于概率值很接近于1 的事件，其对立事件的概率必然很接近于0 0()P。在概率论中，我们把概率很接近于0的事件称为小概率事件。那么多大的概率值算小概率呢？这要根据具体情况而确定：对于某些非常重要的试验（场合），当事件的发生会产生严重后果（如飞机失事、沉船等）时，应选得小一些如0.0001，甚至更小一些；否则可以适当大一些。一般多采用0.01、0.005 这两个值：即事件发生的概率在0.01或0.005以下的事件称为小概率事件。而0.01、0.005 这两个值称为

3、小概率标准。三、小概率原理及其推断方法（一）小概率原理定理一( 贝努利大数定律）：在 次独立重复试验中，记事件 发生的次nA数为 。 是事件发生的概率。则对于任意正数 0 ，有AnP或lim1nplimAnPp根据贝努利大数定律，事件 发生的频率 / 依概率收敛于事件 发AnA生的概率。就是说，当 很大时，事件 发生的频率与概率有较大偏差的可能性非常小。假如某事件 发生的概率很小，由实际推断原理，在实际应用中，A当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替概率。倘若某事件 发生的概率 很小，则它在大量重复试验中出现的频率也应该很小。 例如，若 0.001，则大体上在1000次试验中， 才能出

4、现1 次。因此，A概率很小的事件在一次试验中不大可能发生。在概率论的应用中，称这样的事件为实际不可能事件。实际不可能事件在一次试验中实际上是不可能发生的。这就是小概率原理，也称为小概率的实际不可能性原理。它是统计假设检验决定推翻还是接受假设的依据，也是人们在长期实践中总结出的一条实用性很强的原理。小概率事件迟早会发生。小概率事件在一次试验中实际不会发生，并不代表它永远都不会发生。小概率事件迟早都会发生是指只要独立的试验次数无限增多，那么小概率事件将会发生。下面我们将说明这一结论。在随机试验中，设事件 出现的概率为 ，设 表示“ 在第 次试验中出现” ，则 ，AkAk()kPA，在前 次相互独立

5、的试验中 一次都不出现的概率为()1kPn，则在前 次相互独立的试验中 至212()()1nk kPLL少出现一次的概率为 ，无论 如何小，当2()nnk 时， ，这说明小概率事件迟早会发生。nn（二）小概率推断方法小概率原理的推断方法是概率性质的反证法，指的是首先提出假设，其次根据一次试验的结果来进行计算，最后按照一定的概率标准作出判断。若导致不合理现象出现，即小概率事件发生，则拒绝假设；若未导致不合理现象出现，即小概率事件未发生，则不拒绝假设。小概率原理在概率论中并不占有多么重要的地位，但却是一个简单、基本而且颇有实用意义的原理，在我们的日常生活中有着很广泛的应用。小概率原理常常在不经意间

6、指导人们的实际生活。因为人们坚持这样一个信念：小概率事件在1 次试验中是不会发生的。如果居然发生了，绝不会认为是必然现象，而认为是一定有着某些偶然因素。这就是人们为什么在明知道有飞机失事发生，仍然敢于乘飞机旅行、出差的原因。但也有相反的情况：即人们更愿意承认小概率事件的发生。例如在福利彩票、体育等的发行过程中，尽管人们知道中大奖的机会几乎为0 ，但人们购买的热情依然很高。这里，当然有人们愿意为福利事业、体育献爱心的一面，但最主要的因素是人们期望小概率事件在一次试验中发生（购买几张彩票就中大奖）的侥幸心理作祟。四、小概率事件和不可能事件之间的区别和联系概 率 论 中 把 在 一 定 条 件 下

7、不 可 能 发 生 的 事 件 叫 不 可 能 事 件 。 人 们 通 常 用 0 来 表 示 不 可 能 事 件 发 生 的 可 能 性 。 即 ： 不 可 能 事 件 的 概率 为 0。 但 概 率 为 0 的 事 件 不 一 定 为 不 可 能 事 件 。小概率事件因其概率小而常常会与不可能事件混淆。但两者从本质上来讲，是有区别的。所谓小概率事件是指发生的可能性小，但有发生机会的事件，而不可能事件是指完全不可能发生，概率为零的事件。比如，某人在某时刻既在甲地又在乙地，这属于自相矛盾的事件，所以这是一个不可能事件。而随着社会的不断进步和发展，人的能力与素质的不断提高，有些不可能事件可能会转

8、变成为小概率事件。例如，一直让我们引为自豪的110米栏的跨栏项目，在2006年7月12日之前，打破12秒91的世界记录是一件不可能事件，但是，在7月12日这一天，我国运动员刘翔跑出了12秒88的好成绩，成功打破12秒91的世界记录。至此，打破12秒91的世界记录这一事件，由一不可能事件转换成一小概率事件。222绪论：概率论最早起源赌博问题。17 世纪中叶，法国数学家帕斯卡（B.Pascal）、费马（P.deFermat）及荷兰数学家惠更斯（C.Huygens）等基于排列组合方法，解决了“分赌注问题”及“赌徒输光问题”，于是出现了概率论。1819 世纪，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游

9、戏之间的相似性，从而概率论被广泛应用到这些领域，大大推动了概率论的发展。瑞士数学家贝努利（建立了概率论中的第一个大数定律。随后，经过数学家们不断深入的研究，概率论的理论逐渐成熟。概率在工农业生产、国民经济、现代化科技等方面的应用价值体现越来越广泛，现代日常生活更是与概率有着千丝万缕的联系。概率论是研究随机现象统计规律的一门科学。概率是刻画随机事件发生可能性大小的数量指标。随机事件A 发生的概率一般用 表示，并规定()PA。对于概率值很接近于1 的事件，其对立事件的概率必然很接近于0 0()P。在概率论中，我们把概率很接近于0的事件称为小概率事件。那么多大的概率值算小概率呢？这要根据具体情况而确

10、定：对于某些非常重要的试验（场合），当事件的发生会产生严重后果（如飞机失事、沉船等）时，应选得小一些如0.0001，甚至更小一些；否则可以适当大一些。一般多采用0.01、0.005 这两个值：即事件发生的概率在0.01或0.005以下的事件称为小概率事件。而0.01、0.005 这两个值称为小概率标准。目前,国内外对于这个课题的研究颇多,如：张艳艳的小概率事件原理的应用 1、王东梅,王晓丽的概率在生活中的一些简单应用 2,都利用小概率事件原理对日常生活中常见的小概率事件进行了分析和探讨,揭示了小概率事件发生现象背后所隐藏的真实背景,并在这一原理分析的基础上通过几个实例介绍了其在其它生活领域的应

11、用.孙荣恒的应用数理统计 3、陈希孺的概率论与数理统计 4、魏文元的概率论与数理统计 5、茆诗松,程依明,濮晓龙的概率论与数理统计教程 6、魏宗舒的概率论与数理统计教程 7分别从概率与统计上说明了小概率事件关系.王梓坤的马尔科夫过程和今日数学 8则具体论述了小概率事件在当今数学中的应用.最后同济大学工程数学概率统计简明教程 9则更从更直观的介绍概率论和数理统计中的基本概念、基本原理和基本方法,强调直观性.小 概 率 事 件 原 理 是 概 率 论 中 具 有 实 际 应 用 价 值 的 基 本 理 论 ,以 生 活 中 常见 问 题 和 典 型 事 例 出 发 ,介 绍 了 小 概 率 事 件

12、 及 其 相 关 性 质 ,说 明 了 小 概 率 事 件和 不 可 能 事 件 的 区 别 与 联 系 以 及 小 概 率 事 件 发 生 的 必 然 性 ,在 小 概 率 事 件 原理 分 析 的 基 础 上 分 析 解 决 此 类 问 题 ,并 通 过 几 个 实 例 介 绍 了 小 概 率 事 件 原 理在 日 常 生 活 中 、 假 设 检 验 等 几 个 方 面 的 应 用 .我 们 从 实 质 上 把 握 小 概 率 事 件的 原 理 ,了 解 小 概 率 事 件 ,便 能 更 好 的 应 用 于 实 际 生 活 .第一章：1.1 小概率事件原理。小概率事件原理是概率论中具有实际

13、应用意义的基本理论，又称为似然推理，根据大量重复试验中事件出现的频率接近于它们的概率，即指：若事件 A为小概率事件，但在一次或少数次试验中小概率事件 A居然发生了，就有理由认为情况不正常，事件 A不应该发生。小概率事件原理又称为小概率事件不发生原理，但应该明确：若某试验中出现 A的概率为 ，不管 0如何小，如果把试验不断独立地重复下去，那么 A迟早必然会出现一次，从而也必然会出现任意多次，因为第一次试验中 A不出现的概率为 1- ，前 n次 A都不出现的概率为 ，因此前 n次试验中 A至少出现一次的概率为 1- 。当 n1n 1时概率趋于 1，这表示 A迟早会出现 1次的概率为 1。出现 A以

14、后，把下次试验当作第一次，重复上述推理，可见 A必然再次出现。由以上分析可看出，小概率事件并不是不可能事件，所以我们在实际生活和工作中不能忽视小概率事件。小概率事件是否可以忽略，要具体问题具体分析，例如，任何小概率的事件对航天飞机来说都有可能是致命的，而一批皮鞋中有 0.01的次品却无妨大碍。在较复杂的问题中，利用小概率事件原理可以帮助我们透析小概率事件发生现象的更深背景。1.2 小概率事件推断方法。定理一（伯努利大数定律）在 n次独立重复试验中，记事件 A发生的次数是 ，p 是 A发生的概率，则对于任意 0，n有 或 ，lim1Anplim0Anp根据伯努利大数定律，事件 A发生的频率依概率

15、收敛于事件 A发生的概率，就是说，当 n很大时，事件 A发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小，假设某事件 A发生的概率很小，由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件 A的频率来代替概率。倘若某事件 A出现的概率 甚小，则它在大量重复试验中出现的频率应该很小。例如，若 =0.001，则大体上在1000次试验中 A才出现一次。因此，概率很小的事件在一次试验中实际上不大可能出现，在概率论的应用中，称这样的事件为实际不可能事件。实际不可能事件在一次试验中是不会出现的，这就是小概率原理。它是统计假设检验决定推翻还是接受假设的依据，也是人们在实践中总结出来而被广泛应用的一个原理。小概

16、率原理的推断方法是概率性质的反证法，指的是人们首先提出假设，继而根据一次试验的结果来进行计算，最后按照一定的概率标准作出鉴别。若导致不合理的现象出现，即小概率事件发生，则拒绝假设；若未导致不合理现象出现，即小概率事件未发生，则不拒绝假设。333绪论小概率事件是有可能发生的,只是发生的可能性很小而已,并且没有规律可循.人们的生活中也能看见小概率事件的存在,而且经常应用到小概率事件的实际不可能原理,因为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的,所以人们对待小概率事件有两种截然相反的态度：一种是不愿意承认小概率事件的发生,对小概率事件听之任之、不闻不问；另一种是更愿意承认小概率事件的发生,整日处于杞人忧天或守株待兔的境界.本文通过实例,用辩证思维方法来阐述小概率事件原理的应用,只要我们能充分的