曲线系方程及应用

高中数学竞赛一试内容讲座1曲线系方程及应用曲线系方程１．直线系： ；0),(),(21yxff２．圆系  0)()()(,20201 CByAxyf 一一３．二元二次曲线 C： 表示的曲线的类型：2 FEDxyBxA一一４．圆锥曲线系定理一：给定五点，其中三点在直线 l 上，另外两点不在 l 上，则经过这五点的二次曲线是唯一的，并且是退化的二次曲线（即两条直线） ．定理二：给定五个点，其中任何三点都不共线，则过此五点有且仅有一条二次曲线．推论一：若圆锥曲线 有四个不同交点，则过两0),(:0),(:21 yxfCyxfC一曲线交点的曲线方程为： ．,,2f推论二：若直线 与圆0),(0),( 222111 CyBxAylyBxAyl 一锥曲线 C： 有四个不同交点，则过这四个交点的曲线系方程0),(yxf为： ．),(,,21yxl推论三：若四直线 一一一 0),(:0),(:0,: 321 yxlyxll有四个不同的交点，则过这四个交点的曲线方程为：),(:4yxl．0),(,,, 4321yxl高中数学竞赛一试内容讲座2推论四： 的方程为：),321(P)3,21( 14i PiP 一则曲线系为：0, iiii CyBxAyl．0),(,),(,),(, 133221 yxlyxlll 二．曲线系方程的应用求一条经过五点 的圆锥曲线．)21,(),0(),0,(四条直线 围成一个四边形，问 k0:,5:,06:,0253: 431  ylxlykxlyxl取何值时，此四边形有一个外接圆，并求出此外接圆的方程．已知 AB，CD 是椭圆 的两条倾斜角互补的两条弦，求证：A，B，C，D 四点12byax共圆．高中数学竞赛一试内容讲座3已知三角形三边所在直线方程为 ，求经过这个三角形的三个顶点，01,0yxx且过(3,1)点的抛物线方程．例５．求过点 的抛物线方程．C(4,)042),69(,21一一yxBA例６．过已知二次曲线的弦ＰＱ的中点Ｏ任意作两条弦ＡＢ，ＣＤ，求证：过Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的任意二次曲线被直线ＰＱ所截得的线段均为Ｏ点所平分．例７．已知四边形 ABCD 的边 AB，CD 相交于 O，过 O 点任作一直线 l 交 AC 于 E，交BD 于 F，过 A，B，C，D 任作一圆锥曲线 S 与 l 相交于 G，H，求证：．OFEHO11高中数学竞赛一试内容讲座4例８．若二次曲线的内接六边形的三组对边都不平行，求证：三组对边所在直线的交点共线．练习１．已知椭圆 有四个交点，求过这４01y0,2x1-yx042 一yx个交点的二次曲线的方程．２．求过点 五点的二次曲线方程．)2,3()0,1,(),0,( DCBAO３．在⊙Ｏ中，弦ＧＨ的中点Ｍ，过Ｍ任作两条弦ＡＢ，ＣＤ，ＡＣ，ＢＤ分别交ＧＨ于Ｅ，Ｆ，求证：ＥＭ＝ＭＦ．４．三个圆两两相交，证明：三条公共弦所在直线平行或交于一点．高中数学竞赛一试内容讲座5曲线系方程及应用曲线系方程１．直线系： ；0),(),(21yxff２．圆系  0)()()(,20201 CByAxyf 一一３．二元二次曲线 C： 表示的曲线的类型：2 FEDxyBxA一一４．圆锥曲线系定理一：给定五点，其中三点在直线 l 上，另外两点不在 l 上，则经过这五点的二次曲线是唯一的，并且是退化的二次曲线（即两条直线） ．定理二：给定五个点，其中任何三点都不共线，则过此五点有且仅有一条二次曲线．推论一：若圆锥曲线 有四个不同交点，则过两0),(:0),(:21 yxfCyxfC一曲线交点的曲线方程为： ．,,2f推论二：若直线 与圆0),(0),( 222111 CyBxAylyBxAyl 一锥曲线 C： 有四个不同交点，则过这四个交点的曲线系方程0),(yxf为： ．),(,,21yxl推论三：若四直线 一一一 0),(:0),(:0,: 321 yxlyxll有四个不同的交点，则过这四个交点的曲线方程为：),(:4yxl．0),(,,, 4321yxl推论四： 的方程为：),321(P),( 14i PiP 一高中数学竞赛一试内容讲座6则曲线系为：0),(iiii CyBxAyl．0),(,),(,),(, 133221 yxlyxlll 二．曲线系方程的应用求一条经过五点 的圆锥曲线．)21,(),0(),0,(四条直线 围成一个四边形，问 k0:,5:,06:,0253: 431  ylxlykxlyxl取何值时，此四边形有一个外接圆，并求出此外接圆的方程．已知 AB，CD 是椭圆 的两条倾斜角互补的两条弦，求证：A，B，C，D 四点12byax共圆．已知三角形三边所在直线方程为 ，求经过这个三角形的三个顶点，01,0yxx高中数学竞赛一试内容讲座7且过(3,1)点的抛物线方程．例５．求过点 的抛物线方程．C(4,)042),69(,21一一yxBA例６．过已知二次曲线的弦ＰＱ的中点Ｏ任意作两条弦ＡＢ，ＣＤ，求证：过Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的任意二次曲线被直线ＰＱ所截得的线段均为Ｏ点所平分．例７．已知四边形 ABCD 的边 AB，CD 相交于 O，过 O 点任作一直线 l 交 AC 于 E，交BD 于 F，过 A，B，C，D 任作一圆锥曲线 S 与 l 相交于 G，H，求证：．OFEHO11高中数学竞赛一试内容讲座8例８．若二次曲线的内接六边形的三组对边都不平行，求证：三组对边所在直线的交点共线．练习１．已知椭圆 有四个交点，求过这４01y0,2x1-yx042 一yx个交点的二次曲线的方程．２．求过点 五点的二次曲线方程．)2,3()0,1,(),0,( DCBAO３．在⊙Ｏ中，弦ＧＨ的中点Ｍ，过Ｍ任作两条弦ＡＢ，ＣＤ，ＡＣ，ＢＤ分别交ＧＨ于Ｅ，Ｆ，求证：ＥＭ＝ＭＦ．４．三个圆两两相交，证明：三条公共弦所在直线平行或交于一点．。