空间解析几何方法

(空间解析几何)之内容方法 内容：空间直角坐标系；平面的点法式与一般式方程；空间直线的对称式与一般式方程及它们间的平行与垂直等相关位置；曲面与空间曲线的方程等它是以后学习二重积分和三重积分的基础本章的重点是：平面的点法式方程；直线的对称式方程；球面方程；母线平行于坐标轴的柱面方程难点是：母线平等于行坐标轴的柱面方程的概念和空间曲线在坐标轴上的投影曲线的概念一　空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广每点由三个有序实数确定 P（x, y, z）.两点 )2,1(,(izyxPii 间的距离为： 2121221 )(|| zy定比分点公式为：.,, 21zyx其中 λ 为 P 分线段 P1P2的定比，即 P1P＝λPP 2二 方向余弦与方向数有向线段 ：以 P1为始点，P 2为终点的线段，它与三个坐标轴正向的夹角称为方向角；方程角的余弦值称为方程余弦其计算公式为： .||cos,||cos,||cos 212121 Pzyx且满足 .直线的方向数｛A，B，C｝：,cscsCBA其中 α，β，γ　是直线上某个有向线段的方向角若｛A，B，C｝是直线的方向数，则｛kA, kB, kC｝也是。

这时直线的方向余弦为 ,cos22C,os22BA.BA两直线 L1，L 2的夹角为： ,cos 22111nmlnl 其中 },{1nml和 },{2分别是 L1，L 2的方向数02lL1平行于 L2,21n其中若分母为 0，则相应的分子也为 0三　平面与空间直线1． 平面的点法式方程： ,)()()( 000 zCyBxA其中 ,zP是平面上一点， ｛A，B，C｝是平面的方向数由于同时垂直于平面内两相交直线的直线即为平面的法线，所以一般都可以求平面的点法式方程2． 平面的一般式方程： .Dzyx　（A，B，C 不同时为 0） ， ｛A，B，C｝是平面法线的方向数在平面的一般式方程中平面过原点 0CzByAx平面平行于 x 轴 D平面过 x 轴平面平行于 xoy 坐标面 kz(为常数）其它类似，故从略求平面的一般式方程时，可用待定系数法；也可先求其点法式方程，再化为一般式方程3． 直线的对称式方程（或点向式）方程： ,000nzmylx其中 ),(zP为直线上一定点， },{nml为直线的方向数由立体几何知识，直线通常可求其对称式方程；由于点、向的不唯一，所以直线的对称式方程也不唯一。

4． 直线的一般方程： 02211DzCyBxA两相交平面的交线直线的对称式中只有两个独立的等式（若某分母为 0，则分子为 0） ，联立即得一般式方程；反之，由于直线与两相交平面的法线垂直，故可从直线的一般式求得直线的方向数另外，令直线的一般式中某变量为 0，解出另两个变量的值即得直线上一点，故可从直线的一般式方程可求得其对称式方程5． 两平面平行的充要条件是其法线的方向数成比例即122::.ABC两平面垂直的条件是其法线垂直即 10直线 L 与平面  平行的充要条件是直线与平面的法线垂直即 .lmn直线 L 与平面  垂直的充要条件是::ABC四　曲面与空间曲线曲面的一般方程： (,)0.Fxyz球心在 (,)abc，半径为 r的球面方程为 ：222.xc空间曲线的方程：12(,)0zxy即它作为两曲面的交线)0Fy表示：母线平行于 轴，准线为xz的柱面同样， (,),(,)0GzHzx　分别表示母线平行 轴和 y轴的柱面空间曲线12(,)0zFx在 xo坐标面上的射影曲线求法：从空间曲线方程中消去变量 z得， (,)0y，再与 z联立，(,)0Gxyz即为所求。

它就是空间曲线对 y面的射影柱面与 x面的交线五 二次曲面椭球面：221,xyzabcabc时为球面单叶双曲面： 22，　221xyzc，1xyzabc双叶双曲面：22，－221xyzabc，221xyzabc椭圆抛物面： ，2yxb，2xzac注意：顶点坐标的变化，如：2()xyzcab表顶点在 (0,)c开口向下的椭圆抛物面双曲抛物面：2xyzab，2xc，2yac等锥面： 22c， 2yb， 22z以上均为各类曲面的标准方程，应熟练准确地画出其大致图形并触类旁通另外，上述各方程左端正项的两系数相等时，表旋转曲面例 7.1　 已知空间中两点 12(,0)(,1)P求1．｜P 1P2｜；　　　2.　 2ur的方向余弦；　　3.　直线 的方向数解：1. 22212||()01)(0).2. 1212cos,cos,||||PP.120()||3. 方向数为 212121{(),(),(}{0,.xyz例 7.2　 已知平面过 ,0，与平面 x垂直且与直线12xyz平行求该平面的方程解：方法一：先求法式方程设该平面的法线的方向数为 {,}ABC，则由题意得，02ACB，解得 :1:0。

所以所求平面的点法式方程为 ()()1()0xyz，化为一般式为： 0.xz方法二：待定系数法设平面的一般方程为 0(,AByCzDAB不全为 0） 由平面过点 (1,0)得： 　　　　　　　（1）由另两条件得：　　　　　 　　　　　　　　　　（2）0ABC　　　　　　　　 （3 ）联立（1） ， （2 ） ， （3 ）并解得 :1:0D故所求平面的方程为： .xz注：因平面的一般式方程中 ,y的系数为其法线的方向数，所以这两种方法实质上是一样的例 7.3　 求过点 (1,0)且与直线213xzy平行的直线的标准方程解：先从一般式方程中求已知直线的方向数设其方向数为 {,}lmn则203l，解得54:::33lmnn故所求直线的对称式方程为：注：在已知直线的一般式方程中，令 0z得，21,2xy，解得51,.3xy从而求得直线上一点为5(,0).3故可化已知直线的一般式方程为标准方程为：513.43xyz例 7.4　 已知球面的球心在 (1,0)且过点 (1,2).求1． 该球面的方程；　　　2． 该球面与 x的交线对 yoz坐标面的射影柱面的方程；3． 该球面与 1的交线对 坐标面上的射影曲线的方程。

解：1. 设球面的方程为 22()(1).xyzr因球面过点 (,2)，所以 r故所求球面的方程为：2(1)1.xyz2．球面与 x的交线方程为：22(1)(1)xyz，从中消去 得该交线对坐标面 yoz的射影柱面的方程为：2(1)4.yz3．将射影柱面的方程与 面的方程联立即得所求射影曲线的方程为22()0x。