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1、第5章 线性时不变系统的变换分析,5.0引言5.1 LTI系统的频率响应5.2用线性常系数差分方程表征系统的系统函数5.3有理系统函数的频率响应5.4幅度和相位之间的关系5.5全通系统,第5章 线性时不变系统的变换分析,5.6 最小相位系统5.7 广义线性相位的线性系统5.8 小结,5.0 引言,LTI的离散系统可以用下述方法表示：差分方程：变换表示： 方便分析 能够反映频域特性 先进行z变换分析， 然后利用下式变换到频域,5.1 LTI系统的频率响应,表示为极坐标：其中： 幅度响应（增益） 相位响应（相移）如果上述增益和相移是我们不需要的，则称为幅度、相位失真。,一、DF按频率特性分类 可分
2、为低通、高通、带通、带阻和全通，其特点为： （1）频率变量以数字频率 表示， ， 为模拟角频率，T为抽样时间间隔； （2）以数字抽样频率 为周期； （3）频率特性只限于 范围，这是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的一半。,5.1.1 理想频率选择性滤波器,0,低通,高通,带通,0,0,带阻,全通,0,0,二、DF的性能要求（低通为例）,0,通带截止频率,阻带截止频率,通带阻带过渡带 平滑过渡,三、DF频响的三个参量 1、幅度平方响应 2、相位响应,3、群延迟,它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是表示每个频率分量的延迟相同。,5.1.2 相位失真和延迟,线性相位失真，带来
3、信号的输出延时。此类失真可以忍受。对延时我们可以将其他信号也延时，从而达到系统同步。延时的多少（群延迟）：群延迟是衡量相位线性度的标准。,例5.1 衰减和群延迟的效果,对于任何一个非线性的曲线，主要分割的足够小，每一段均可认为是线性的。因此，对于非线性相位的系统，可以认为在每一小段内都是线性的，每一小段对应于一个窄带信号。即对为各窄带信号的延迟都是相同的，每个窄带信号内包含若干频率分量，这些频率分量定义为一组（一群）信号。即对这一群信号的延迟是相同的，因此定义为群延迟。,5.2用线性常系数差分方程表征系统的系统函数,差分方程Z变换系统函数,进行因式分解：,M个零点：M个极点：0,N个零点：0N
4、个极点：,零点：M+N个极点：M+N个,例5.2,（p201）,5.2.1 系统的稳定性因果性,稳定性:收敛域包含单位圆；因果性：右边序列（收敛域）；例题5.3 （p202）,5.2.2逆系统,系统与其逆系统级联后，总的系统响应为1。即 逆系统的幅度响应为原来系统的倒数（故对数幅度为原来的负值），相位响应和群延迟为原来的负值。,5.2.2逆系统,不是所有的逆系统都存在，如低通滤波器不存在逆系统。因无法恢复幅度响应为零的频率分量。,逆系统和原系统零极点的关系,零点是原来的极点；极点是原来的零点。问题：逆系统的收敛域，（因果稳定的系统，极点在单位圆内），逆系统的极点在单位圆内=原系统的零点在单位圆
5、内。这样的系统称为最小相位系统。,5.2.3有理函数的单位脉冲响应,系统函数部分是展开其时域表示,5.2.3有理函数的单位脉冲响应,其时域表示根据上式可以将系统分为两类：FIR: h（n）是有限长的（只有前面的有限个累加项），没有非零极点。（例5.6，P204）IIR： h（n）是无限长的，有非零极点。 （例5.7，P205）,5.3 有理系统函数的频率响应,对稳定的LTI系统,幅度响应,幅度平方：,对数表示： 零点 极点相位响应：群延迟：,相位响应的主值,记作： 为整数。,相位响应的主值的计算,调整到主值范围内,另一种求法：,群延迟的求法,由连续相位求解除去主值跳变值，也可用主值或不确定相位
6、求解：,5.3.1 单个零点或极点的频率响应,考虑一个最简单系统（单个零点或极点）。,幅度响应,幅度响应对数表示主值相位群延迟,周期函数： 时：幅度达到极小值；相位为零；群延迟极小； 时：幅度达到极大值,图解,幅度相位,时：幅度达到极小值；相位为零；群延迟极小； 时：幅度达到极大值,响应和r的关系,r=1时幅度响应可以为0；相位出现跳变。群延迟极值。,上面分析的是零点的例子。对于极点，是零点的倒数。幅度的对数表示，相位，群延迟均是零点的负值。幅度: 时，极小。 时，极大。r=1时，幅度可以达到无穷大。,5.4 幅度和相位之间的关系,一般系统，幅度和相位之间没有制约。对于有理函数系统，幅度和相位
7、之间有制约。,以复数为例，给定复数的幅度和相位，复数确定。复数本身的幅度和相位之间没有联系。除非加上额外的限制，才能制约幅度和相位。例如加上系统零极点选择的限制。,5.4 幅度和相位之间的关系,例如： 当幅度特性和零极点个数已知，则其相位特性仅有有限个选择。 当相位特性和零极点个数已知，则除去幅度加权因子，其幅度特性仅有有限个选择。对于最小相位系统，幅度特性决定相位特性；相位特性决定除去加权因子外的幅度特性。,首先研究幅度特性,任何给定的系统总有另一个系统的幅度响应与其相同。因为：,z变换的关系,零点：极点：,例5.11（p220）,例5.12（p221）如果不限制系数为实数，则选择更多。零极点的个数不加限制，系统则会无限多。,全通因子,添加一个全通因子,增加一个极点、一个零点。零极点的个数不加限制，系统则会无限多。,5.5 全通系统,全通系统 形如：分子、分母共轭，其模值相等。故幅度响应为1。全通系统： 的系统。,零点：极点：零点、极点共轭倒数,一般形式,系统函数的系数为实数，则零点（极点）共轭出现,零点、极点共额倒数,最简单全通系统的响应,幅度响应为1；有3个向量，相位响应：,因果全通系统，连续相位曲线在 非正。,相位非正性证明,稳定的因果系统，rM,时等于n0。所以序列长度为M+1.,M又分为偶数和奇数两种情况，所以有4种线性相位FIR DF，如下所述。,
