椭圆的简单几何性1

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1、“椭圆的简单几何性质”教学案例分析 杨永良名师工作室学员杨新华 教学案例 ： 一、教学目标： 1 、知识掌握目标：通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并能正确作出图形。 2 、基本技能和一般能力培养目标：培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。 3 、创新素质和创新人格的培养目标：培养学生的创新意识和创新思维，培养学生的合作意识。 4 、德育目标：通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。 二、教材分析与处理，学情分析与对策 1 、教材与学生的简要分析：本课是在学生学习了椭圆的定义

2、、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。对于学生来说，利用曲线方程研究曲线性质这是第一次，因此教学中教师要注意引导、点拨。 2 、重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。 难点：利用双曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。 德育点：在研究性质的过程中，培养学生大胆猜想，敢于发表个人见解，培养学生喜欢探究的情感和态度。过对椭圆对称性的体验，使学生得到美的感受。 创新点：教学中不拘泥于教材，改变教材的安排，有利于学生进行探究。在范围这一性质的教学中，鼓励用多种

3、方法推倒，培养学生的创新思维；在反馈训练中，让学生自己编拟方程并研究其性质。留研究性作业，鼓励学生进一步探索。 空白点：研究性过程中多处留白，鼓励学生大胆猜想并根据方程给予论证反思性小结中设计表格留空白，调动学生积极参与。 三、教学设计 借助多媒体辅助手段，创设问题情境，引导学生观察、分析、猜测、论证，组织讨论，合作交流，启发学生积极思维，不断探索后汇报研究成果，得到结论后总结，及时进行反馈应用和反思式总结。 教具的选择和使用目的，板书设计 多媒体课件及实物展台，通过动画演示化解知识难点，运用实物展台，实现了现代教育技术既作为教的工具，也作为学的工具。 四、板书设计：椭圆的简单几何性质 1 、

4、对称性； 4 、离心率 2 、顶点； 5 、板书学生推导 3 、范围； 6 、作图 五、教学过程 1 、创设情境引导目标与内容 教师：神州八号飞船发射成功，（课件展示飞船绕地球运行模拟图）。 通过前面的学习我们知道，飞船在变轨前是沿着地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行的，如果告诉你飞船的轨道方程，你怎样作出飞船的轨迹呢？这个问题的实质是什么？ 学生：已知一个椭圆的方程，画出这个椭圆。 教师：让学生拿出预习中用描点法画出 所示的图形，同时计算机给出作图过程，纠正学生作图中存在的问题后给出：这种作图方法虽然比较准确，同学们通过作图体会到了什么？ 学生：麻烦。 教师：有简单的方法吗？如果有，需要知道什

5、么呢？ 学生：研究曲线的特点。 教师：对，如果我们能根据椭圆的方程，探讨出它的几何特征，那么作图就很方便了。这节课我们就一起来学习椭圆的简单几何性质（引出课题） 教师：前面我们学习了椭圆的哪些知识？ 学生：学习了定义和标准方程。 教师：你还记得标准方程吗？ 学生： 或 教师：这节课就以 （ a b 0 ）为例来研究。 2 、教师点拨、指导，学生研究、合作、体验（ 1 ）对称性 教师：（大屏幕展示所示的图形）请同学们观察这个图形在 x 轴的上方、下方， y 轴的左侧、右侧有怎样的关系呢？（此处是空白点，激发学生思考） 学生：有对称性，关于 x 轴、 y 轴、原点都对称。 教师：正确。那么一般的椭

6、圆 是否也具有这种对称性，你能根据方程得到结论吗？ 学生：（充分讨论后）也有同样的对称性。在 上任取一点 P （ x,y ）则 P 点关于 x 轴、 y 轴和坐标原点的对称点分别是（ x,-y ）（ -x ， y ）、（ -x ， -y ），而代入方程知这三个对称点都适合方程，即点 P 关于 x 轴、 y 轴和坐标原点的对称点仍然在椭圆上，可得结论。 教师：回答得非常正确。 课件展示对称过程后总结： 所表示的椭圆，坐标轴是其对称轴，坐标原点是其对称中心，对称中心也叫椭圆的中心，椭圆是有心曲线。做人应向椭圆学习，做一个有心之人。 （ 2 ）顶点 教师：（大屏幕展示 所表示的图形）请同学们继续观察

7、这个椭圆与坐标轴有几个交点呢？ 学生：与坐标轴有四个交点。 教师：对，一般的椭圆 与坐标轴有几个交点呢？ 学生：同样是四个。 教师：你能根据方程求得四个交点的坐标吗？（计算机给出图形，椭圆与 x 抽的交点分别是 、 ，与 y 轴的交点分别是 、 ） 学生 B ：分别令 x=0,y=0 ，得 (-a,0) 、 （ a,0 ）、 （ 0,-b ） （ 0,b ） . 教师：回答得很好。这四个点是椭圆与坐标轴的交点，也是椭圆与其对称点的交点。 及时总结并给出顶点的定义（强调是与对称轴的交点）。结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长半轴长、短半轴长，点明方程中 a 、 b 的几何意义。 教师：（根据课

8、件中的图）如果过 、 、分别作 y 轴的平行线，过 、 分别做 x 轴的平行线，则这四条直线将构成 - （欲言又止） 学生：一个矩形。 教师：椭圆在矩形 - （欲言又止） 学生：内部 教师：正确，这说明了什么？ 学生：有的说有界，有的说有范围。 教师：指出椭圆是有范围的，根据前面求得的 、 、 、 的坐标，你能说出 x 、 y 的范围吗？ 学生： -a x a ， -b y b. 教师：完全正确。那么你根据方程 研究 x 、 y 的取值范围吗？请同学们想一想，并互相讨论讨论。（此处既是空白点、又是创新点，学生能够动脑思考，动手实践，亲身体验，积极地投入到“创新性研究”中，把数学的重点放在了学生

9、的学习过程，而不是获得一个简单的结果） （ 3 ）范围 引导学生用多种方法探究，汇报研究成果并用实物投影展示或到黑板板书。 学生：由 利用两个实数的平方和为 1 ，结合不等式知识得 且 ，则有 -a x a ， -b y b. 教师：很好，谁还有不同意见？ 学生：利用三角换元，令 ， ， R 。由弦函数有界可得范围。 教师：这个想法也不错，谁还有不同见解？ 学生：从 中解出 ，利用 0 可得 y 的取值范围，同样可得 x 的取值范围。 教师：这种想法也不错，谁还有不同见解？ 此时学生陷入深思中，教师及时点拨，前面我们学习过函数的定义域、植域，这对你研究椭圆的范围有何启示呢？ 学生议论纷纷，有的

10、开始动笔推导，有的几个人一起在商量。 教师：谁研究出来了，或哪个小组研究出来了？请到前面给大家讲一讲。 学生：（实物展台展示）由 则 y= ，可通过求这个函数的定义域、值域得范围。 教师： y= 是函数吗？ 学生：（思考后）说不是。 教师：怎么处理呢？ 学生：把 y= 和 y=- 分别看作是一个函数。 教师：正确。往下怎么研究呢？ 学生：先求函数 y= 的定义域、值域。利用前面学习过的代数函数求定义域、值域的方法，可得 -a x a ， 0 y b ，同样得 y= 中 -a x a ， -b y 0 ，于是得到范围。 教后反思 ： 1 、将教学科研融入教学中，改变学生的学习方式 研究体验式创新

11、教学法是我校的一个科研课题。本节课就是以这一理论为指导，借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。例如导入，通过“神州八号”这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。在研究范围这一性质时，课前设计中，只要学生能根据不等式知识解出就可以了，但学生采用

12、了多种方法研究，这时教师没有打断他的思路，而是引导帮助他研究，鼓励学生创新，从而也实现了以学生为主，为学生服务。 2 、渗透教学思想方法重在平时 当学生有一天不再学习数学了，我们给学生留下的是什么？我想应该是学生遇到具体问题时那种思考问题的方式和解决问题的方法。本节课始终是引导学生观察图形后研究方程，即数形结合的思想。华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”因此在平时教学中，要注意渗透数学思想方法的教学。 3 、信息技术走进课堂 在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。 不足：在对具体例子 的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。 感悟：新课堂是活动的课堂，讨论、合作交流可课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育。面对新课改教师惟有主动适应，创造新生。