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1、高三零模冲刺讲义 C 级考点讲解与训练之三数列 C 级考点回顾：等差数列、等比数列 一、课本回顾与拓展1.（P34 习题 9 改编）若 （其中 为实常数） ， ，且数列 为单调递增数列，32nan*Nnna则实数 的取值范围为_. 2.（P41 习题 8）已知等差数列 的首项 ，公差 .n16a43d（1）此等差数列中从第几项开始出现负数？_；（2）当 最小时，求 . _na3.（P41 习题 9）三个数成等差数列，它们的和是 15，它们的平方和等于 83，则这个数列为_.变：成等差数列的四个数之和为 26，第二个数和第三个数之积为 40，则这个数列为_.4.（P41 习题 15 改编）已知等
2、差数列 中， ，则na301596a._105.（P41 习题 16）在等差数列 中，已知 ， （ ） ，则 =_.qpqpqpa6.（P44 练习 6）在等差数列 中，已知 ，则n 2,0168S.24S7.（P45例5）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm ，满盘时直径120mm（如图）已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是 米（取 3.14， 精确到1m）？8.（P47 练习 4）已知一个凸多边形各个内角的度数组成公差为 的等差数列，且最小角为 ，则它是o5o120_边形.9.（P47 习题 2）求和： =_. 10)25.3k（10.（P48 习题 8）
3、一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中，偶数项和与奇数项的和之比为 ，27:3则公差 等于_.d11.（P48 习题 12）已知等差数列 中， ， ，则前 项和 的最小值为_.na3185annS12.（P55 习题 13）三个数成等比数列，它们的积为 27，它们的平方和为 91，则这个数列为_13. （P56 例 2 改编）在等比数列 中，已知 ， （1）求数列 的通项公式 n 263,73Sna_；（2）求 _.9S14. 在等比数列 中，若 ，则 = ；若 ， ,则 q= ；na21,31q7a3a7815.（P54 习题 10）在等比数列 中， ， ，则 的值为_.n0
4、1252645453a16.（P55 习题 14）已知等比数列 的公比为 ，且 ，则031L的值为_.30963aL17.（P62 习题 8）在等比数列 中， ， ，则 的值为_.na21q50S10642aaL18.（P62 习题 5）求和 =_.)()3()()12 nL19.（P68 习题 15）等差数列 中，前 项（ 为奇数）和为 77,其中偶数项之和为 33,且 ,则nm 181m数列 的通项公式为 _. na20.（P68 习题 16） 是不为 0 的常数 , _. b, *,NnbannnbabL2121.（P68 习题 17）在等差数列 中，已知 ， （ ） ，则 的值为_.n
5、qSppqqpS二、典例剖析例 1（通项公式的探究问题） （2012 年江苏高考题）已知各项均为正数的两个数列 和 满足：nab设 ，求证：数列 是等差数列. 12nnabN， 1nnbaN， 2nba变 1：设 a， 12na， 21nba， *，则数列 nb通项公式 n=_.变 2：已知数列a n满足：a 1 = a2 = 1， （ ） ，则 = 21n,2N 109a变 3：已知数列 的前 项和 （ ） ，满足 ，则数列 的通nnS02),(11nSan an项公式为_.变 4：已知各项均为正数的数列 na前 项的和为 nS，数列 2na的前 项的和为 nT，且2*34,nnSTN则数列
6、 的通项公式为_.例 2（数列的单调性问题）数列a n满足：a 1 = 5，a n+1a n = ，数列b n的前2(an+1 an) 15 *()Nn 项和 Sn满足：S n = 2(1b n)（1）证明：数列a n+1a n是一个等差数列，并求出数列 an的通项公式；（2）求数列b n的通项公式，并求出数列a nbn的最大项变：数列 的首项 ，其前 项和为 ，且满足 ，若对任意的naa1nnS),2(3*1NnSn， 恒成立，则 的取值范围是_ *,Nnm1naa例 3（数列中的子数列问题）已知数列a n满足 （ ）.341nan *N（1）若数列a n是等差数列，求 的值；（2）当 时，
7、求数列a n的前 n 项和 ；12nS（3）若对任意 ，都有 成立，求 的取值范围*51na1例 4 （数列中的有界性问题） 数列 满足 ，且 若对于任意的na10,1,12.na，总有 成立，则 a 的值为 . nN3na变：数列 满足： 是整数，且 是关于 的方程 的根.)(*Nna1x02)(112nnax（1）若 ，且 时， ，求数列 的前 100 项和 S100；41284n（2）若 ， ，且 ， ，求数列 的通项公式8a161a*n例 5（数列中的分类讨论）已知函数 为二次函数，不等式 的解集为 且对任意)(xf 02)(xf ),31(的 恒有 .,a,R0cos2,0)(sin
8、f（1）求 的解析式；)xf（2）若数列 满足 ,求数列 的通项公式；n )(23)1(3 ,1 *1 Nnaffann na（3）设 ,在（2）的条件下，若数列 的前 n 项和为 求数列nabb,nS)cos(nnb的前 n 项和 .T变：已知等比数列 的首项为 ，公比为 ，其前 项和为 ，若 对 恒成立，na4313nnS1nABS*nN则 的最小值为 . BA例 6（数列中的不等关系）（1）等差数列 与等比数列 中， ，则nanb13130,aba且 25ba_；（2）已知公差不为零的正项等差数列a n的前 n 项和为 ，正项等比数列b n的前 n 项的和为 ，若nSnT.（以上两题均用
9、不等号连接）153023015205,bST则 _变 1：设 是数列 的前 n 项和，对任意 总有na*N1(0nqaq， ， *mkN， ，)mk且 求数列的 通项公式 ；nn 试比较 与 的大小；当 时，试比较 与 的大小 mkS21()kS1q2mkS21kS变 2：已知等差数列 的首项 ，公差 ，前 n 项和为 ，设 m， n， pN *，且na10dnS2np（1）求证： ；（2）求证： ；nmpS2pmS例 7.（简易数论问题）已知 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列。nadnbq（1）若 ，是否存在 ，有 说明理由； 31na*mkN、 1?mka（2）找出所有数列 和
10、 ，使对一切 , ,并说明理由. nbn变：设 是公差为 d 的等差数列， 是公比为 q 的等比数列.nanb（1）若 ，是否存在 ，使 ？31,mkN1mka（2）数列 中，若 ，公比 ，且 ， 仍是 中的项，则 .nb1(0,)2qN12kkbnbq（3） 满足 试证明任给 ,总存在 使 成等比数列. a,2dp,mpa三、自主练习1. 设首项为-20 的数列 为等差数列，且恰从第 8 项开始为正数，则公差 的取值范围是_. na d2. 设 Sn为等差数列a n的前 n 项和，已知 S5 = 5，S 9 = 27，则 S7 = _3. 等差数列a n前 n 项和为 Sn.已知 am1 a
11、 m1 a 0，S 2m1 38，则 m_.2m4. 已知数列 满足 ， （ ） ，则当 时， _.00nLnna5 已知设 ，则1031742)(f ._)(f6. 已知 为等差数列，若 ，且它的前 项和 有最大值，那么当 取得最小正值时，na10anSnS. _n7. 已知等比数列 公比 ，且 ，则满足不等式 的最大naq21061211()()()0naa正整数 的值为 . 8. 等差数列a n和b n的前 n 项的和分别是 Sn 和 Tn，且 ，则231=_， =_.5ba65ba9. 设等差数列 n的前 项和为 nS，若 246810a，且 4682682482461170aa，则
12、9S的值为 10. 已知数列 的各项均为正整数， 为其前 项和，对于 ，有nan 1,3nL 1 135, .2nn nkaka 为 奇 数 ，为 偶 数 ， 其 中 为 使 为 奇 数 的 正 整 数则当 时， 1a120_SSL11 已知 是等差数列，对于给定的正整数 ， ，则 的最大值为nbm213mb121mmbbL_.12. 设 是从1,0,1 这三个整数中取值的数列，若 ，1250,a 12509aa，则 中数字 0 的个数为 . 250()()(1)7a1250,a13. 设 nS为数列 n的前 项之和.若不等式 21nS对任何等差数列 n及任何正整数 n恒成立，则 的最大值为_
13、14. 一个正数，它的小数部分、整数部分及它本身，依次构成等比数列，则这个正数为 .15. 已知数列 满足对任意的 都有 且 .na*,nN3321212()nnaaaLL0（1）求 的值；12,（2）求数列 的通项公式；n（3）设数列 的前 项和为 ，不等式 对任意的正整数 恒成立，求实数2nanS1log()3nan的取值范围. a16. 已知首项为 的数列 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，都有 . 0)a（ nanS,mn2nmS（1）证明：数列 是等差数列；n（2）若 ，数列 的首项为 ，第 项 是数列 的第 项，求证：数b(1)b*(,2)Nnbna-1nb列 为等比数列；nb（3）若对（2）中的数列 和 及任意正整数 ，均有 成立，求实数 的最小值. nan10na17. 数列 满足：na23211naL(0,)nN常 数（1）求数列 的通项公式；（2）当 时，是否存在互不相同的正整数 ，使得 成等比数列？若存在，给出 满4,rst,rsta,rst足的条件；若不存在，说明理由；（3）设 为数列 的前 n 项和若对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取nSanN(1)2nSa值范围18. 已知常数 0，设
