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1、1,第4章 线性控制系统的复域分析法,目 录4-l 引 言 4-2 绘制根轨迹的基本规则 4-3 广义根轨迹的绘制 4-4 纯迟延系统根轨迹的绘制 4-5 利用根轨迹分析控制系统 4-6 利用MATLAB进行根轨迹分析,2,4-l 引 言 4.1.1 根轨迹的基本概念 根轨迹的提出 对于图4-l所示单位反馈系统，已知开环传递函数为,图4-1 反馈系统,3,则系统的闭环传递函数为,系统的特征方程为,系统的特征根或闭环极点为,(4-1),4,式(4-1)表明，闭环极点随变量k的变化而变化，从而影响系统的瞬态响应，系统具有不同的动态过程。因为系统闭环极点的位置影响系统的瞬态响应及品质指标。其中， (
2、1) 当k =0时；系统特征根s1=0,s2= -2，与开环极点重合。 (2) 当0k0.5时，系统特征根s1,s2均为负实根，系统呈过阻尼状态，阶跃响应单调变化。 (3) 当k =0.5时，s1=s2= -1，两根重合，其阶跃响应为临界阻尼状态。 (4) 当0.5km时，s+时，式(4-10)左边,20,故当nm时，有 m支根轨迹终止于开环零点，其余(n- m)支根轨迹趋向无穷远处。 由此可见，n阶系统的n支根轨迹（n个分支）分别起始于 n个开环极点，其中 m支终止于m个开环零点，其余(n-m) 支终止于无穷远处。 如果把趋向无穷远处根轨迹的终点称为无限开环零点，有限数值的开环零点称为有限开
3、环零点，那么可以说根轨迹必终止于开环零点处。从这个意义上讲，可得绘制根轨迹的规则2。 规则2：根轨迹起始于开环极点，而终止于开环零点。,21,3根轨迹的渐近线 由上可知，当系统的nm时，根轨迹一定有(n-m)支在k+时趋向无穷远处，根轨迹在无穷远处的趋向可由渐近线来决定。 假设在根轨迹上无穷远处有一点s，即当s时, 由于系统开环零、极点到根轨迹上无限远s点构成的向量差别很小，几乎重合。因而, 可以将从各个不同的开环零、极点指向s点的向量, 用从同一点a处指向无限远s点的向量来代替, 即用向量(s-a)来代替向量(s-zj)和(s-pi)。,22,此时针对由根据特征式(4-7)所得的下式,(4-
4、11),有,(4-12),即,(4-13),式中，,(4-14),23,式(4-13)即为根轨迹的渐近线方程。由式(4-13)可知，在给定开环传递函数的情况下（即n,m,pj,zi一定），自实轴上一定点a向无限远处根轨迹上的变点s作矢量(s-a)的长度为（因当k+时，k-1/(n-m)），相角a也一定，它不随s的变化而变化。,24,另外，根据式(4-11)和式(4-12)可得,(4-15),(4-16),比较式(4-15)和式(4-16)知，当s时，两式是等价的，其项的系数应相等，所以有,(4-17),25,规则3：当系统的nm时，根轨迹在k+时，有(n-m)支渐近线，它们与实轴的夹角a分别为
5、,(4-18),其所有(n- m)支渐近线交于实轴上同一点，其交点坐标为,(4-19),26,说明: (1) 由于开环零、极点或为实数或为共轭复数，故a 必为实数，即各支渐近线的交点在实轴上。 (2) 在求渐近线与实轴的夹角a时，l依次取 0,1,2,3,，直到所求值重复3600为止。 (3) 在(n-m)条渐近线中，两两与实轴成镜像关系。,27,4实轴上的根轨迹 位于实轴上的根轨迹，可直接利用相角条件来判断，下面按两种情况讨论。,假设系统所有的开环零、极点均为实数, 其分布如图4-5(a)中的z1，p1和p2所示。,图4-5 开环零、极点分布,28,现假定讨论位于开环极点pl和p2之间的一段
6、实轴，在该区间段上任取一点s0为试验点，很明显，从点s0左边的每一个实数开环零、极点向点s0所作矢量的相位角均为零，而从点s0右边的每一个实数开环零、极点向点s0所作矢量的相位角均为180。因此只有当点s0右边的实数开环零、极点总个数为奇数时，才满足相角条件。,29,(2) 若系统还存在一对共轭复零点z2，3，和一对共轭复极点p3，4，其分布如图4-5(b)中所示。,由图4-5(b)可看出，开环复零点z2，3对实轴上任意一个试验点s0所作矢量的相位角之和为360，同理开环复极点p3，4对实轴上任意一个试验点s0所作矢量的相位角之和也为360，它们的位置对相角条件没有影响。因此，共轭复零点、共轭
7、复极点对实轴上根轨迹的分布没有影响。,30,即,所以要满足相角条件， s0右边实轴上的开环零、极点总数之和(或差)必须是奇数。规则4：若实轴上某点右边的所有开环零点和开环极点数目之和为奇数，则这一点就是根轨迹。,如假设在试验点s0右边实轴上的开环零、极点数分别为m1和n1，在其左边实轴上的开环零、极点数分别为m2和n2，另外系统分别有m3和n3对共轭开环零、极点, 则根据相角条件式(4-7)可得。,31,5根轨迹的分离（会合）点与分离（会合）角(1) 分离（会合）点 两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相交的点称为根轨迹的分离（会合）点。由于根轨迹对称于实轴，所以分离（会合）点可以位于实轴也可以位于复平面上。如图4-6所示。,图4-6 根轨迹上的分离点和会合点,32,其中，在图4-6(a)和图4-6 (b)中，分离点和会合点均位于实轴上，通常将根轨迹分支离开实轴进入复平面时与实轴的交点称为分离点，如图4-6(a)所示；而将根轨迹分支从复平面进入实轴时与实轴的交点称为会合点，如图4-6(b)所示。分离（会合）点还可以共轭复数对的形式出现在复平面中，如图4-6(c)所示。,
