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1、- 1 -【本文作者】姓 名：刘志新工作单位：河北省丰宁满族自治县实验中学姓 名：刘晓丹工作单位：河北省丰宁满族自治县特殊教育中心2013 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)理科数学第卷一.选择题：本大题共 12 小题。每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1 ）已知集合 ， ，则（ ）02|xA5|xBA. B. C. D. BI RUAB（2 ） .若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）z|34|)3(izizA. B. C. D. 545（3 ）为了了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初
2、中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D. 系统抽样（4 ） 已知双曲线 C： 的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为( )0,(12bayx 25A. B. C. D. y13xy1xy（5 ）执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 属于（ ）3,tSA. 4,3B. 2C. ,D. 5- 2 -（6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 ，将一个球放在容器cm8口，再向容器内加水，当球面恰好接触水面时测得水深为 ，如果不计容器的厚度，则6球的体积
3、为（ ）A. 350cmB. 86C. 3172cD. 04m（7）设等差数列 的前 项和为 ，nanS若 , , ，则 （ ）21mS0m31mA. B. C. D. 3456（8）某几何的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）A.16+8 B.8+8C.16+16 D.8+16侧视图俯视图44422242主视图（9）设 为正整数， 展开式的二项式系数的最大值为 , 展开式的mmyx2)(a12)(myx二项式系数的最大值为 ，若 ，则 （ ）bba713A. B. C. D. 568（10）已知椭圆 的右焦点 ，过 点的直线交 于 ，:E)0(2yx )0,3(FEA两点，若 的中点坐标为
4、 ，则 的方程为（ ）BA1,EA. B. 136452yx7362yx- 3 -C. D. 1827yx1982yx（11） 已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）0),ln()2xf axf|)(|A. B. C. D. 0,(11,20,2（12）设 的三边长分别为 ， ， ， 的面积为 ， nCBAnabncnCBAnS3,1若 ， ， ， ， ，则（ ）1cb12n21a21nabcA、 为递减数列nSB、 为递增数列C、 为递增数列， 为递减数列12n2nSD、 为递减数列， 为递增数列S二填空题：本大题共四小题，每小题5分。（13）已知两个单位向量 ， b的夹角为60， ，若
5、，则 abtatc)1(0ct_.（14 ）若数列 的前 项和 ，则数列的通项公式是 _n 312nSna（15）设当 时，函数 取得最大值，则 _.xxxfcossi)(cos（16 ）若函数 的图像关于直线 对称，则 的最大)1)(2baf 2)(xf值为_.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17 ） （本题满分 12 分）- 4 -如图，在 中， ， ， ， 为 内一点，ABCo903AB1CPAB.o90P（）若 ，求 ；21PBA（）若 ，求 .o50PBtan（18 ） （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 中， ，1CBAB， .1ABo601（）证明 ;（）
6、若平面 平面 ， ,C1BAC求直线 与平面 所成角的正弦.A11- 5 -（19 ） （本小题满分 12 分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n。如果 n=3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为 ，且各件产品21是否为优质品相互独立（）求这批产品通过检验的概率；（）已知每件产品检验费用为 100 元，且抽取的
7、每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X（单位：元） ，求 X 的分布列及数学期望。（20 ）( 本小题满分 12 分)已知圆 ： ,圆 ： ,动圆 与 外切并且与圆 内M12yxN9)1(2yxPMN切，圆心 的轨迹为曲线 .PC（）求 的方程；（） 是与圆 ,圆 都相切的一条直线， 与曲线 交于 A，B 两点，当圆 的半径最l lC长时，求 . |AB（21 ）（本小题满分共 12 分）已知函数 f(x) x2axb ，g (x)e x(cxd)，若曲线 yf (x)和曲线 yg( x)都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的 切线 y4x+2（）求 a，b，c，d
8、的值（）若 x 2 时，f (x)kgf(x) ，求 k 的取值范围。- 6 -请考生在第（22） 、 （23 ） 、 （24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。（22 ） （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于 D。（）证明：DB=DC；（）设圆的半径为 1，BC= ，3延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径。（23 ） （本小题 10 分
9、）选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ， （ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴的正tyxsin5cot x半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 . sin2（）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；（）求 C1 与 C2 交点的极坐标（0,02 ） 。（24 ） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 ,|2|1|)(axxf3)(xg（）当 时，求不等式 的解集；af（）设 ,且当 )时， ,求 的取值范围.2,x)(xfa2013 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)理科数学 第卷 试题答案与解读一.选择题：本大题共 12 小题。
10、每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.- 7 -1 【解读与点评】已知集合 ， ，则（ ）02|xA5|xBA. B. C. D. BI RUAB解法 1.选 B. （求解对照）由 得， 或 ，02|x0|x2又 ，所以5|xB解法 2. 选 B. （求解对照）由 或 ， 利用数|xA5|xB轴排除 A、C、 D.点评：（1）本题涉及解二次不等式，集合运算及集合间关系，考查不下 3 个知识点，是容易题. （2）解法 1 由条件出发利用数轴直接求解，而解法 2，则是条件与选项相结合，进行迅速排除，这是解决选择题的常用策略.（3）此类问题常涉及函数、方程，不等式、数
11、形结合等基本数学思想，试题虽小，但有时涉及到的知识点却很多. （4 ）与前几年考题中的集合题类似，都是给出集合，求子、交、并、补等。 、形式稳定、位置稳定，难度稳定，作为考题的热身试题，意在让考生进入数学状态2【解读与点评】若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）z|34|)3(izizA. B. C. D. 455解法 1. 选 D.（求解对照）设 ，则 ，biaz )(43)(biazi5化简得 ，所以 ，解得 ，即 .5)43(iba04355biz43解法 2. 选 D.（求解对照）因为 ，|i题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D C C A A C A B
12、 D D B- 8 -所以 .)43(543iiz2501ii43点评：（1）本题涉及复数、模、虚部的概念，复数的运算，复数相等的充要条件等不下 4 个知识点（2）基本解法主要有 2 步演算：求模，除法运算化为 标准形式，得结果；或由iab复数相等建立二元方程，解方程求出复数 对比来说，解法 1 要比解法 2 繁琐，解法 1z首先设 ，利用复数的运算法则进行化简，然后利用复数相等列出 ， 的方程组biaz ab求出 的值.有些“画蛇添足”的感觉 ，解法 2 则有“画龙点睛”之笔.（）解决此类问题时，可涉及函数与方程的基本数学思想以及待定系数法（4 ）与 2012 年的复数题相比，今年的题目降低
13、了难度。纵观新课标全国考题看，基本上都是关于虚数单位 的四则运算，形式稳定、位置稳定，难度稳定，均为热身题i3【解读与点评】为了了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D. 系统抽样解. 选 C.（求解对照）小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异而男女生视力情况差异不大，故选用按性别分层抽样的抽样方法.点评：（1）本题主要涉及利用三种抽样：简单随机抽样、分层
14、抽样、系统抽样的概念和性质对不同抽样进行判断.（2）基本解法就是要认真读题，找出题目中的重要信息：“小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大” ，然后结合三种抽样的性质选择正确的结论.（3 ）此类问题属于考查概念性的问题，应对其相关性质熟练把握. 对比三种抽样方法合理选择.- 9 -4 【解读与点评】已知双曲线 C： 的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为( )0,(12bayx 25A. B. C. D. y41x3xy1xy解法 1 选 C （求解对照）因为 ，所以 ，又因为 ，所以25ace452ac22bac，得 ，所以渐近线方程为452ab2a1xy1解法 2. 选 C （求解对照,顺推肯定）因为 ，所以令 ， ，由25aceka2c5，则 ，所以所以渐近线方程为22back xxby1解法 3. 选 C （求解对照，逆推否定）因为 ，则渐近线 中，25eay必含有 ，排除 A、B、D.2bac5点评：（1）本题涉及双曲线的标准方程、离心率、渐近线等不下 3 个知识点（2）解题时主要有 2 步演算：将 平方，再利用 进行化简.25ace 22bac（3）主要涉及方程思想和整体代换思想.（4 ）与 2012 年
