向量法在中学数学解题中的应用

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1、向量法在中学数学解题中的应用李莉莉向量的有关知识1.1 平面向量向量运算中的基本图形：向量加减法则：三角形或平行四边形；实数与向量乘积的几何意义共线；定比分点基本图形起点相同的三个向量终点共线等(1)向量的三种线性运算及运算的三种形式.向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言主要内容列表如下：运 算 图形语言 符号语言 坐标语言OABC记 12(,)(,)OAxyBxy则 12(,)xy加法与减法 AB实数与向量的乘积,aR记 ，(,)axy则 两个向量的数量积bc

2、os,a记 ，12(,)(,)xybxy则 21a运算律向量加法： ， ；ab()()bcc实数与向量的积：， ， ；()()a()a两个向量的数量积： ， ，b()()bb()abcbc(2)两个向量平行的充要条件符号语言：若 ，且 ，则 ；0()aR坐标语言：设 ，则 12(,)(,)axybxyb1210xy(3)两个向量垂直的充要条件符号语言： ；0坐标语言：设 ，则 12(,)(,)axybxyab120xy(4)线段定比分点公式如图，设 ,则定比分点向量式：21P；21OO定比分点坐标式：设 ，12(,),)(,)xyPxy则 122x(5)平移公式：如果点 按向量 平移至 ，则

3、，分别称 ，(,)Pxy(,)ahk(,)Pxykyhx (,)xy为旧、新坐标， 为平移法则(,)xy1.2 空间向量(1)共线向量共线向量定理：对空间任意两个向量 ， 存在实数 使 .,(0)ababab(2)共面向量称平行于同一平面的向量为共面向量. 共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量 与向量 共面 存在两个实数p,使 ,xypayb(3)空间向量基本定理空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个,abcp唯一的有序实数组 , 使 xyzpxyz(4)两个向量的数量积空间两个非零向量 的数量积定义与平面向量也类似，但表达形式略有不同. ,ab，当 时，称

4、向量 与 互相垂直，记作 cos,abab,2abab(5)空间向量的坐标运算空间向量的各种运算的坐标表示与平面向量类似，这里不再详述 2 向量法在中学数学解题中的应用2.1 在代数解题中的应用(1)求函数的最值(值域)利用向量的模的不等式 , ,可以十分简单地求ababab一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题例 1 求函数 的最大值2()34fxx分析：观察其结构特征，由 联想到向量的数量积的坐标表示令 ，则 ，且 故2(3,4)(,)pqx()2fxpq5,2q，当且仅当 与 同向，即 时取等号，从而()1fx2340x问题得到解决(2)证明条件等式和不等式条件等式和不

5、等式的证明，常常要用一些特殊的变形技巧，不易证明若利用向量来证明条件等式和不等式，则思路清晰，易于操作，且解法简捷例 2 设 ，其中 求证: = 222()()()abmnabn0manb分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令 (,)p，则易知 与 的夹角为 0 或 ，所以 ， ，问题得证(,)qnpqpq0ab(3)解方程(或方程组)有些方程(方程组)用常规方法求解，很难凑效，若用向量去解，思路巧妙，过程简洁例 3 求实数 使得它们同时满足方程：,xyz和 231xyz224915382xyzxyz分析：将两方程相加并配方得 ，由此联想到向量模，2()()10令 ，则

6、 ，(2,3,2)1,axyzb63,ab(2)3)1axy，又因为 ，其中等式成立的条件即为方程组的解，即当()18z8a且仅当 = = 时等式成立，问题解决2x3y2z0(4)解复数问题因为复数可以用向量表示，所以复数问题都可以用向量来研究解决例 4 已知复平面内正方形 的两对角顶点 和 所对应的复数分别为 和ABCDAC23i，求另外两顶点 和 所对应的复数i分析：先求 ，为此得求 因 ，而 是 依逆时针方向旋转OD，同时将 的模缩为 倍，因此先求 而 ，故 对应的复数4AC12ACOAC是，于是 对应的复数是(23)7iiiD1957cosn42i又 ，所以 可求同理可求 ，问题解决O

7、DAOOB(5)求参变数的范围求参变数的范围是代数中的一个难点，常常要进行讨论，若用向量去解，会收到意想不到的效果.例 5 设 ，且 ，试讨论,abcdR222(0), 3kabcdkabcd的范围,分析：由 联想到向量的模，令 ，则22abcd(,)(1,)pabcq， .由 得pqk22,3pabcp，解得 ，由 对称性便可得 的范围23kkdd102d,abcd,abcd2.2 在三角解题中的应用向量的数量积的定义，将向量与三角函数融为一体，体现了向量的模与三角函数之间的关系，为运用向量解决三角函数问题创造了有利的条件(1)求值例 6 已知 ，求锐角 的值3coscos()2,分析：由已

8、知得 ，观察其结构特征,联想到(1)inscos向量的数量积，令 ，则 ，cs,(,i)ab 3cos2ab由 得 ，所以 ，2osaba3coss212即 ，代入已知等式便可求得 的值3(2)证明恒等式例 7 求证： cos()cossin分析：由等式右边联想到向量的数量积，令 ，(cos,in),(cos,in)ab则 ，且易知 与 的夹角为 ，则1,abab，cos()又 ，则问题得证csinsab2.3 在平面几何解题中的应用利用向量加法、减法、数乘和内积的几何意义，可以巧妙而简捷地进行几何证明和解决几何中有关夹角的问题例 8 试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形.分析：如图，

9、 分别为 三边上的中线，若要证明,ADBECFAB能作成一个三角形，只须证明 ,ABEFDECF0证明：设 = , = , = ,cab则 ，而0abADB， ,12caBE12ab所以 CFA12bc于是 ，即以 为边可构成一个ADBECF1()02abcc,ADBECF三角形2.4 向量在解析几何中的应用平面向量作为一种有向线段，本身就是线段的一段，其坐标用起点和终点坐标表示，因此向量与平面解析几何有着密切联系在解析几何中，它可使过去许多形式逻辑的证明转化为数值的计算，化复杂为简单，成为解决问题的一种重要手段和方法.例 9 已知一个圆的直径两端点为 ，求此圆方程.12(,)(,)AxyB解

10、：设 为圆上异于 的点，由圆周角定理得 ，若 是与点(,)Pxy, APB(,)xy或 重合的点，则 = 或 = ，故都有 =0 成立，从而AB0P，此即为所求圆方程 122()()xyxy例 10 求过圆上的点 的22(5)(6)10(6,9)M切线方程解：如图,设 是所求切线上的(,)Nxy任意一点，则 ，6,9,因为 ，(13)OM OM所以 = ，即 ，此即为所求切线的方程(即使是 重N0()3()0xy,NM合时，仍有 = ，因为此时 = )N2.5 在立体几何解题中的应用直线与平面所成的角、最小角定理，异面直线所成的角，二面角及其平面角概念、求法，两平面垂直的判定及性质定理，点面、

11、直线与平行面、两平行面、异面直线等四种距离的概念及求法以及用向量解决有关直线、平面的垂直、平行、共面以及夹角与距离问题.例 11 如图，在正方体 中， 分别是棱 的中点，求1ABCD,EF11,ADB和面 所成的角1BCEF解：如图，建立空间直角坐标系 ，设正xyz方体棱长为 ，则坐标为：2(,0)(,)B，110,2EFC(2,)(),DE设 是平面1Bnxyz的法向量， ，nDB0nE0得 ，令 ，得 ，设 为 和面 所成的角，则1,2yxz2x(,21)n1CEFBD为所求11sinco,6CnBurr arcsin6综上所述，向量是一种有效的工具，在众多数学问题中有十分广泛的应用因此，我们应该有意识地运用向量分析问题，借助向量的知识来解决问题zA BCDA1 B1C1D1yxEF