《【人教B版】选修2-2：2.3《数学归纳法》ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【人教B版】选修2-2：2.3《数学归纳法》ppt课件（63页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、成才之路 数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 人教 选修 2 推理与证明 第二章 学归纳法 第二章 课堂典例探究 2 课 时 作 业 3 课前自主预习 1 课前自主预习 从前有一位画家，为了测试他的三个徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群马；第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还有一匹只露出半截身子的马三张画稿交上去，评判结果是最后一幅画被认定为佳作，构思巧妙，笔墨经济，以少胜多！ 这第三张画稿只画了一匹半马，为何能胜过一群马呢？你知道其中蕴含的数学原理吗
2、？ 只要任意相邻的两块骨牌之间的距离保持适中 ， 即前一块骨牌倒下时能砸倒后一块 ， 那么在推倒第一块骨牌后 ， 会出现怎样的情形 ？ 2 什么叫归纳法 ？ 答案： 就会导致第二块骨牌倒下 ， 而第二块倒下 ， 又导致第三块倒下 ， 以此类推 ， 直到全部倒下 2 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 ，通常叫归纳法 根据考察的对象是全部还是部分 ， 归纳法又分为：完全归纳法和不完全归纳法 . 一、数学归纳法 1 定义： 一个与自然数相关的命题，如果 (1) 当 n 取第一个值 n 0 时命题成立； (2) 在假设 n k ( k N ，且 k n 0 ) 时命题成立的前提下，推出当
3、n k 1 时命题也成立，那么可以断定，这个命题对 2 证题时的具体步骤 第一步，证明当 n 取第一个值 例如 1 或 2 时结论正确 ) ； 第二步，假设当 n k ( k N 且 k 时结论正确，证明当n k 1 时结论也正确 在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从 n 都正确， 注意： (1)第一步是验证命题递推的基础 ， 第二步是论证命题递推的依据 ， 这两个步骤缺一不可 (2)用数学归纳法证明有关问题的关键在于第二步 ， 即 n k 1时为什么成立 ？ n k 1时成立是利用假设 n 根据有关的定理 、 定义 、 公式 、 性质等数学结论推证出 n k 1时成立 ， 而不是直接
4、代入 ， 否则 n k 1时也成假设了 ， 命题并没有得到证明 (3)数学归纳法仅适用于与正整数 的证明 ， 如与正整数有关的恒等式 、 不等式 、 数的整除性 、 几何问题 、 探求数列的通项和前 用数学归纳法证明某命题时，左式为12 n 1) ( k ， k Z ， n N*) ，在验证 n 1 时，左边所得的代数式为 ( ) 答案 B 解析 令 n 1 ，左式 12 . 故选 B. 二 、 数学归纳法的应用 数学归纳法常用来解决与正整数有关的问题 ， 具有广泛的应用 1 证明等式 证明这类命题是 “ 一凑一变 ” ， 突出 “ 变 ” 字 ， “ 凑 ” 是指由 n k 1的左端凑出 n
5、 或由 n n k 1的左端； “ 变 ” 是指把拼凑的式子变为 n k 1的右端 2 证明不等式 证明这类题的关键是 “ 一凑一证 ” ， 常结合其他方法 (如放缩法等 )完成 “ 一证 ” 3 证明整除问题 证明这类问题的关键是 “ 凑项 ” ，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子 “ 硬提公因式 ” ，即将 n k 时的项从 n k 1 时的项中 “ 硬提出来 ” ，构成 n k 的项，后面的式子相对变形，使之与 n k 1 时的项相同，从而达到利用假设的目的 4 证明几何问题 此类问题证明的关键是要弄清楚当由 n k 推导 n k 1 的情形时，几何图形的变化规律 5
6、证明数列问题 数列与数学归纳法有着非常密切的关系，我们知道，数列是定义在 N ( 或它的有限子集 1 ,2,3 ， ， n ) 上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一样的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上也是一致的为此数列中有不少问题都可用数学归纳法予以证明，诸如数列的通项，前 n 项和 界性等，既可以是恒等式，也可以是不等式，没有固定的格式，有一定的综合性，是最近几年高考的热点问题之一，证明时要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑 “ 假设 ” 这一步的应用，不利用假设而进行 的证明不是数学归纳法 已知数列 a n 的通项公式 a n 4 2 n 1 2 ，数列 b n 的通项满足 b n
7、(1 a 1 )(1 a 2 ) (1 a n ) ，试证明： b n 2 n 11 2 n. 证明 (1) 当 n 1 时， a 1 4 ， b 1 1 4 3 ， b 1 2 1 11 2 1 3 ，等式成立 (2) 假设 n k ( k 1 ， k N ) 时等式成立，即 k 11 2 k， 那么 n k 1 时 ，有 1 (1 1 (1 1 1) 1) 2 k 11 2 k 1 4 2 k 1 2 2 k 1 11 2 k 1 ， 也就是说 n k 1 时，等式也成立 由 (1) (2) 可知，等式对任何正整数 n 都成立 三、数学归纳法与 “ 观察 归纳 猜想 证明 ” 近几年的高考
8、试题，不但要求能用数学归纳法去证明现成的结论，而且加强了对归纳推理的考查，既要求归纳、发现结论，又要求能证明结论的正确性，形成了 “ 观察 归纳 猜想 证明 ” 的思维模式，它是数学归纳法的重点题型，也是近几年高考的热点 在中学阶段，这方面的题型主要有以下几方面： 已知数列的递推公式，求通项或前 n 项和； 由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在； 给出一些简单的命题 ( n 1,2,3 ， ) ，猜想并证明对任意自然数 n 都成立的一般性命题 这类问题涉及的知识内容是很广泛的，可以涵盖前面几节所讲述的所有内容：代数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问
9、题等解题一般分三步进行： 验证 p (1) 、 p (2) 、 p (3) 、 p (4) 、 ； 提出猜想； 用数学归纳法证明 在数列 a n ， b n 中， a 1 2 ， b 1 4 ，且 a n ， b n ， a n 1 成等差数列， b n ， a n 1 ， b n 1 成等比数列 ( n N ) 求 a 2 ， a 3 ， a 4 及 b 2 ， b 3 ， b 4 ，由此猜测 a n ， b n 的通项公式，并证明你的结论 解析 由条件得 2 b n a n a n 1 ， 1 b n b n 1 . 由此可以得 a 2 6 ， b 2 9 ， a 3 12 ， b 3 1
10、6 ， a 4 20 ， b 4 25. 猜测 a n n ( n 1) ， b n ( n 1)2. 用数学归纳法证明： 当 n 1 时，由上可得结论成立 假设当 n k ( k N ) 时，结论成立， 即 k ( k 1) ， ( k 1)2， 那么当 n k 1 时， 1 2 2( k 1)2 k ( k 1) ( k 1)( k 2) ， 1 1( k 2)2， 所以当 n k 1 时，结论也成立 由 ，可知 n ( n 1) ， ( n 1)2对一切正整数都成立 四、运用归纳假设证明 n k 1 时的技巧 1 拆项添项 2 紧盯目标 3 改变途径 4 巧妙转化 证明： 1n 1 1n
11、 2 13 n 1 1( n N ) 证明 (1) 当 n 1 时，不等式显然成立 (2) 假设当 n k ( k N ) 时，不等式成立 当 n k 1 时，不等式左边1k 21k 3 13 k 113 k 213 k 313 k 1 1 (1k 21k 3 13 k 1) (13 k 213 k 313 k 1 1) 1 (13 k 213 k 313 k 41k 1) 欲证左边 1 ，只需证13 k 213 k 313 k 41k 1 0. 13 k 213 k 313 k 41k 16 k 6 3 k 2 3 k 4 23 k 1 18 k 1 2 2 3 k 2 3 k 4 3 3
12、k 2 3 k 4 k 1 23 3 k 2 3 k 4 k 1 0. 故当 n k 1 时，不等式也成立 根据 (1) 和 (2 ) ，知不等式对任意的 n N 都成立 课堂典例探究 用数学归纳法证明等式 证明：11 313 5 1 2 n 1 2 n 1 n2 n 1.( n N*) 分析 第一步验证 n 取第一个正整数 1 时等式成立，第二步假 定 n k ( k N*) 时命题成立，即11 313 5 1 2 k 1 2 k 1 k2 k 1成立，并以此作为条件来推证等式11 313 5 1 2 k 1 2 k 1 1 2 k 1 2 k 3 k 12 k 1 1成立 证明 (1) 当 n 1 时，左边11 313， 右边 12 1 113，左边右边，所以等式成立 (2) 假设 n k ( k 1) 时等式成立， 即有11 313 5 1 2 k 1 2 k 1 k2
