《【人教A版】选修4-5数学：4.1《数学归纳法》ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【人教A版】选修4-5数学：4.1《数学归纳法》ppt课件（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017/1/25 该课件由【语文公社】第四讲 数学归纳法证明不等式 4 1 数学归纳法 2017/1/25 该课件由【语文公社】学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 2017/1/25 该课件由【语文公社】学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 证明恒等式 用数学归纳法证明： 1 121314 12 n 112 n1n 11n 2 12 n( n 1 ， n N ) 分析： 该等式左边有 2 n 项 ， 右边有 n 项 ， f ( k ) 与 f ( k 1) 相比 ，左边增两项 ， 右边增一项 ， 而且它们的首项不同 2017/1/25 该课件由【语文公社】学习目标 预习导学 典例精析
2、栏目链接 证明： (1 ) 当 n 1 时 ， 左边 1 1212， 右边12， 命题成立 (2 ) 假设当 n k ( k 1 ， k N ) 时命题成立 ， 即 1 121314 12 k 112 k 1k 11k 2 12 k. 当 n k 1 时 ， 左边 1 121314 12 k 112 k12 k 112 k 21k 1 2017/1/25 该课件由【语文公社】学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 1k 2 12 k12 k 112 k 21k 21k 3 12 k 112 k 2， 即当 n k 1 时命题也成立 由 ( 1 ) 和 (2 ) 可知 ， 命题对一切 n 1 ，
3、 n N 均成立 点评： 在用数学归纳法证明时 ， 关键利用 n k 时的假设 ， 且要注意两边的项数 2017/1/25 该课件由【语文公社】学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 变式训练 1 求证： 1 2 2 2 n 2 n （ n 1 ）（ 2 n 1 ）6( n N * ) 2017/1/25 该课件由【语文公社】学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 证明： ( 1 ) 当 n 1 时 ， 左边 1 ， 右边1 （ 1 1 ）（ 2 1 ）6 1 ， 左边右边 ， 等式成立； ( 2 ) 假设 n k ( k 1 ， k N*) 时 ， 等式成立 ， 即 12 22 k2k （
4、k 1 ）（ 2 k 1 ）6， 则 n k 1 时 ， 12 22 ( k 1 )2k （ k 1 ）（ 2 k 1 ）6 ( k 1 )2（ k 1 ） （ k 1 ） 1 2 （ k 1 ） 1 6. 所以当 n k 1 时 ， 等式仍然成立 由 ( 1 ) 、 ( 2 ) 可知 ， 对于 n N*， 等式恒成立 2017/1/25 该课件由【语文公社】学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 证明整除问题 用数学归纳法证明 (3 n 1 ) 7n 1 能被 9 整除 ( n N*) 分析： 证明一个与 n 有关的式子 f ( n ) 能被一个数 a 或一个代数式 g ( n ) 整除 ，
5、 主要是找到 f ( k 1) 与 f ( k ) 的关系 ， 设法找到式子 k ) ，k ) ， 使得 f ( k 1 ) f ( k ) k ) a k ) ， 就可证得命题成立 证明： ( 1 ) 当 n 1 时 ， 原式 (3 1 1) 7 1 27 ， 能被 9 整除 ，命题成 立 2017/1/25 该课件由【语文公社】学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 (2 ) 假设当 n k ( k 1) 时 ， (3 k 1 ) 7k 1 能被 9 整除 ， 则当 n k 1 时 ， 3 ( k 1) 1 7k 1 1 2 1 ( k 1) 7 7k 1 ( 3 k 1) ( 1 8 k
6、 2 7 ) 7k 1 ( 3 k 1 ) 7k 1 9 ( 2 k 3 ) 7k， ( 3 k 1 ) 7k 1 和 9 (2 k 3 ) 7 整除 ， ( 3 k 1 ) 7k 1 9 (2 k 3 ) 7 整除 ， 即 3 ( k 1) 1 7k 1 1 能 被 9 整除 ， 即当 n k 1 时命题成立 2017/1/25 该课件由【语文公社】学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 由 ( 1 )( 2 ) 可知 ， 对任何 n N*命题都成立 点评： 本题如果将 n k 1 时 ， 3 ( k 1) 1 7k 1 1 变为 7 ( 3 k 1 ) 7k 1 3 7k 1 6 ， 再去
7、证明 3 7k 1 6 能被 9 整除 ， 困难就大一些 ， 即为了能利用归纳假设 ， 拼凑结构式以利于出现题目所需要的形式 ， 需要观察式子的特点 ， 不能盲目变形 ， 要有目标 2017/1/25 该课件由【语文公社】学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 变式训练 2 求证： a n 1 ( a 1) 2 n 1 能被 a 2 a 1 整除 ， n N * . 证明： ( 1 ) 当 n 1 时 ， 1 ( a 1 )2 1 1 a 1 ， 命题显然成立 ( 2 ) 设 n k ( k 1 ， k N*) 时 ， 1 ( a 1 )2 k 1能被 a 1 整除 则当 n k 1 时 ，
8、2017/1/25 该课件由【语文公社】学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 2 ( a 1 )2 k 1 a 1 ( a 1 )2 ( a 1 )2 k 1 a 1 ( a 1 )2 k 1 ( a 1 )2( a 1 )2 k 1 a ( a 1 )2 k 1 a 1 ( a 1 )2 k 1 ( a 1 )( a 1 )2 k 1. 由归纳假设 ， 上式中的两项均能被 a 1 整除 ， 故 n k 1时命题成立 由 ( 1 )( 2 ) 知 ， 对 n N*， 命题成立 2017/1/25 该课件由【语文公社】学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 证明几何问题 平面内有 n 个圆 ，
9、 任意两个圆都相交于两点 ， 任意三个圆不相交于同一点 ， 求证：这 n 个圆将平面分成 f ( n ) n 2( n N*)个部分 分析： 因为 f ( n ) 为 n 个圆把平面分割成的区域数 ， 那么再有一个圆和这 n 个圆相交 ， 就有 2 n 个交点 ， 这些交点将增加的这个圆分成2 n 段弧 ， 且每一段弧又将原来的平面区域一分为二 ， 因此增加 一个圆后 ， 平面分成的区域数增加 2 n 个 ， 即 f ( n 1) f ( n ) 2 n . 有了上述关系 ， 数学归纳法的第二步证明可迎刃而解 2017/1/25 该课件由【语文公社】学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 证明
10、： (1 ) 当 n 1 时 ， 一个圆将平面分成两个部分 ， 且 f (1 ) 1 1 2 2 ， 所以 n 1 时命题成立 (2 ) 假设 n k ( k 1) 时命题 成立 ，即 k 个圆抒平面分成 f ( k ) k2k 2 个部分 2017/1/25 该课件由【语文公社】学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 则 n k 1 时 ， 在 k 1 个圆中任取一个圆 O ， 剩下的 k 个圆将平面分成 f ( k ) 个部分 ， 而圆 O 与 k 个圆有 2 k 个交点 ， 这 2 k 个点将圆O 分成 2 k 段弧 ， 每段弧将原平面一分为二 ， 故得 f ( k 1) f ( k )
11、 2 k k 2 2 k ( k 1)2 ( k 1) 2. 当 n k 1 时命题成立 综上 ( 1 )(2 ) 可知 ， 对一切 n N*命题成立 2017/1/25 该课件由【语文公社】学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 变式训练 3 用数学归纳法 证明：凸 n 边形的对角线的条数是12n ( n 3) 证明： ( 1 ) 当 n 3 时 ，12n ( n 3 ) 0 ， 这就是说 ， 三角形没有对角线 ， 故结论正确 ( 2 ) 假设 n k ( k 3 ， k N*) 时结论正确 ， 即凸 k 边形的对角线有12k ( k 3 ) 条 ， 那么当 n k 1 时 ， 凸 ( k
12、1 ) 边形 1的对角线条数由下列三部分的条数相加而得： 2017/1/25 该课件由【语文公社】学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 由归纳假设 ， 凸 k 边形 k 3 ) ； 对角线 1 条； 而顶点 1与另外 ( k 2 ) 个顶点 ， 1可画出 ( k 2 )条对角线 所以凸 ( k 1 ) 边形的对角线的条数是： 12k ( k 3 ) 1 ( k 2 ) 12( 3 k 2 k 2 ) 12( k 2 ) 12( k 1 )( k 2 ) 12( k 1 )( k 1 ） 3 这就是说 ， 当 n k 1 时结论也正确 由 ( 1 ) ， ( 2 ) 知 ， 命题结论对 n 3 起的所有自然数都正
