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1、 学好数学“三步曲”：概念-做题-反思 好方法事半功倍，好习惯受益终身 第 1 页 共 8 页课 题 等差数列及前 n 项和重 点 等差数列的定义、通项公式、性质等差数列的前 n 项和公式的推导、性质及其应用难 点 等差数列的定义、通项公式及性质的灵活运用等差数列的前 n 项和公式及性质的综合应用一、课前检测1.等差数列中,已知 a4+a5=15,a7=12,则 a2=( B ) 2.如果 f(n+1)=f(n)+1(n=1,2,3,) 且 f(1)=2,则 f(100)=（ C ）A. 99 B. 100 C.101 D.1023 已知等差数列 中, ,记 ,则 的值为( A )na1079
2、5annaaSL2113SA.130 B.260 C.156 D.168 4.已知数列 满足 ,则 （ D ） nn2,11209A. B. C. D.20650782095 如果数列 是等差数列, ,则 （ B ） na,1daA. B. C. D. 54815485481a5481a6.在数列a n中,已知前 n 项和 Sn=7n2-8n,则 a100的值为 ( D )A .69200 B .1400 C. 1415 D .1385二、知识梳理1 等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差，常用字
3、母“d”表示。公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列 na,若 1n=d (与 n 无关的数或字母) ，n2，nN ，则此数列是等差数列，d 为公差2等差数列的通项公式：普通式： ；1()nd推广式： ；ma变式： ；1()n； ；ndmd 学好数学“三步曲”：概念-做题-反思 好方法事半功倍，好习惯受益终身 第 2 页 共 8 页3 等差中项：如果 a,A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项；且 A2ab。4. 等差数列的前 项和：n公式 1： 公式 2： ；2)(1aS 1()2nSd 推导方法：倒序相加法5.等差数列的性质：（1 ） ； n
4、madnma（2 ）若 （ 、 、 、 ） ，则 ；pqp*qnpqa（3 ）若 m、n 、 p 成等差数列，则 成等差数列（ 、 、 ）mnap、 、 *（4 ） 若 是等差数列,则 为等差数列a,为 常 数（5 ） 等差数列的前 n 项和的性质（） 221 1()ndSanAB是等差数列.nABnS（）若项数为 ，则 ，且 ， *221nnaSnd偶 奇 1nSa奇偶（其中 ， ）nSa奇 nS偶若项数为 ，则 ，且 ，*2121nnanSa奇 偶 1S奇偶（其中 ， ） nSa奇 na偶（） 若等差数列 的前 项和为 ，则数列 ， ， 成等差数列.Sn2nS32nS（6 ） .等差数列的
5、单调性与最值问题（）d0 是递增数列， 有最小值nan 时， =10miS1a 时， =所有负项或非正项之和in（）d0n=13,此时 ，a140a 13max 1325169nS（3） 12Ln 21345naLL= =1naS2638四、反思1. 解决等差数列的最基本方法是基本量法：在五个基本量 中“知三求二”1,nadS2.等差数列的判定方法：（1）定义法： （常数） （ ） 是等差数列1nadnNnnpq（2）中项公式法： 是等差数列21(*).naa（3）通项公式法： （p、q 为常数） 是等差数列n（4）前 n 项和公式法： （A、B 为常数） 是等差数列2nS3.三个数成等差数列
6、可依次设为 ，四个数成等差数列可依次设为,ad，使很多问题能迅速而准确地解决,3ad4.等差数列前 n 项和公式是 ，记住抛物线对称轴221 1()ndSananAB方程 .最值一定在离对称轴最近的整数中取到.图像是过原点的抛物线上的一些离散112da点，由于二次函数图像的对称性，一旦给出关系式 ，则马上知道抛物线的对称轴方程为mnS，即两坐标和的一半！02mn关于 的最值问题可以转化成二次函数求解。其实，它还有一个零点式方程; nS 学好数学“三步曲”：概念-做题-反思 好方法事半功倍，好习惯受益终身 第 6 页 共 8 页设抛物线顶点的横坐标为 ，则抛物线的两个零点为 0 和 ，则可设 0
7、x2x02nSpx（图像中 x 轴对应 n 轴，y 轴对应 轴，等差 最值问题要立刻想到这 2 个图像！nSn5善于利用函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等重要的数学思想，以及用待定系数法、配方法、换元法、消元法等基本数学方法处理问题六、课外练习1.若 nS表示数列 na的前 项的和, 2nS,则 765a( D )A. 150 B. 48 C. 40 D. 332.一个有限项的等差数列,前 4 项之和为 40,最后 4 项之和是 80,所有项之和是 210,则此数列的项数为( B )A.12 B. C.16 D.18 13.等差数列 中， 是其前 项和， ， ，则 的值为（C ）nan
8、S1208a207052S208S206A206BCD4.数列 的各项均为正数, 为其前 项和,对于任意 ,总有 成等差数列,则nanS*Nn2,naS( D )209A、1 B、4018 C、2010 D、20095.已知数列a n的前 n 项和为 Sn=n2+C(C 为常数),求数列a n的通项公式,并判断a n是不是等差数列解解:当 n=1 时,a 1=S1=1+c 当 n 时,a n=Sn-Sn-1=(n2+c)-(n2+c)-(n-1)2+C=2n-1 2a n= c若 C=0,an=2n-1,此时 an-an-1=2(n )an为等差数列 2若 C 0,C+1 1,an不为等差数列
9、 6.设数列 的前 项和为 ，已知 （ =1,2,3,).nS)1(2,1naSn（）求证：数列 为等差数列，并分别求出 和 关于 的表达式；a（）是否存在自然数 使得 若存在，求出 的值；若不存在，请说明?.40321nn理由. 学好数学“三步曲”：概念-做题-反思 好方法事半功倍，好习惯受益终身 第 7 页 共 8 页解：（）当 2 时， ，n211211 nannaSan ,且 .L3241an数列 是以 1 为首项，公差为 4 的等差数列. ， .nn2（）由 ,得 ，S21S ，2321 53nnLL令 =400，得 =20， 存在满足条件的自然数 =20.n7. 在等差数列 中,已
10、知 ,前 项和为 ,且 ,求当 取何值时, 有最大值,na201nS150SnnS并求它的最大值。解： 抛物线对称轴方程为 ，则可设150S152.25np由 ，则1206app56nS所以 n=12 或 13 时， 12max51230nS.8.已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 头htp:/w.xjkygcom126.t:/j ),(1anSn（）求证： 是等差数列； （）求 an的表达式 头htp:/w.xjkygcom126.t:/j nS1()证明： 2 分)3,1(0),(,2111 LQnSSannn1nS又 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列 1an（）解：由（1
11、） 当 n2 时，nSn)1(12nS（或 n2 时， ）)(2)(21Sann )1(21nSann当 n=1 时， a 学好数学“三步曲”：概念-做题-反思 好方法事半功倍，好习惯受益终身 第 8 页 共 8 页1,(1)2;2nna9.设数列 的前 项和为 ，对于所有的自然数 ，都有 .nnSn1()2nnaS（）求证 是等差数列；na（）若 ， ，试确定前 项和 的公式. 103S201nnS解：（）当 时，由题设 . n1()2naS而 ， ， 1112nnnS1nnaS1na1()()()22n aa即 1112()()nnnna11nna因此对于任意 ， 成立2aaL故 是等差数列 n（）由（）知 是等差数列， ， ，将它们代入公式n103S201得到 1()2nSad145,29.ad4,6.ad所以 463n n
