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1、成才之路 数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 人教 选修 2 导数及其应用 第一章 积分的概念 第一章 第 2课时 定积分的概念 典例探究学案 2 课 时 作 业 3 自主预习学案 1 自主预习学案 了解定积分的背景 ， 抽象出定积分的概念 ， 能用定义求定积分 重点： 定积分的定义与性质 难点： 定积分定义的理解及用定义求定积分 1 求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程有相同的求解过程 ， 这个过程是否具有一般意义 ？ 2 你知道古人是怎样得到球的体积计算公式的吗 ？ 3 定积分定义中 ， 区间 a， b的分法必须是等分吗 ？ 定积分的概念 思维导航 新知导学 1 定积分的概念 如果函数
2、 f ( x ) 在区间 a ， b 上连续，用分点 a 0 x d x 0 ，所以 C 不成立，故应选 C. 3 下列值等于 1 的是 ( ) A.01x d x B 01( x 1)d x C.011d x D 0112x 答案 C 解析 由积分的几何意义可知选 C. 4 由正切曲线 y x ，直线 x 0 和 x 4 ， x 轴所围成的平面区域的面积用积分表示为 _ 答案 04 x d x 解析 由定积分的几何意义可知应表示为 04 x d x . 5 不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式： (1)01x d x _01x ( 图 1) ； (2)01x d x _12x d x (
3、 图 2) ； (3)024 x _022d x ( 图 3) 答案 (1) (2) ( 3) 典例探究学案 定积分的定义 求01 x 3 d x . 分析 这里的被积函数 f ( x ) x 3 显然是连续函数现按定义中包含的几个步骤来求01 x 3 d x . 解析 (1) 分割 0,1 ： 0 1n2n n 1n1. (2) 近似代替：作和 1n2n n. i 1nn. ( 因为 以 我们此处将 1 的右端点也无妨 ) (3) 取极限： i 1nn1i 1n n 1 2214 1 2n1 01x li 14 1 2n114. ( 此处用到了求和公式 13 23 (1 2 n )2n n
4、1 22) 因此01x 14. 方法规律总结 用定义法求积分的步骤 (1) 分割：将积分区间 a ， b n 等分 (2) 近似代替：取点 i 1， ，可取 i 1或者 i (3) 求和： i 1 i) (4) 求极限： x )d x i 1 i) 利用定积分的定义求d x 的值 解析 令 f ( x ) 2. (1) 分割： 在区间 a ， b 上等间隔插入 ( n 1) 个分点，把区间 a ， b 等分成 n 个小区间a b a i 1 n， a b a i 1,2 ， ， n ) ，每个小区间的长度为b (2) 近似代替、作和： 取 i a b a i 1,2 ， ， n ) ， 则 i
5、 1nfa b a inb i 1 b a n 2( b a ) (3) 取极限： x li 2( b a ) 2( b a ) 定积分的几何意义 求 11 ( x 3 3 x )d x . 分析 由于所给定积分为曲线 y x 3 3 x 与 x 1 、 x 1及 y 0 围成的曲边梯形面积，故由定义可求，但注意被积函数及积分上、下限特点可采用几何意义解决 解析 y 3 x 为 1,1 上的奇函数，图象关于原点对称， 曲边梯形在 x 轴上方部分面积与在 x 轴下方部分面积相等，由积分的几何意义知 11( 3 x )d x 0. 方法规律总结 若函数 f(x)的图象是某些特殊的图形 ， 其面积运
6、用几何方法容易求解 ， 求定积分时还可以利用几何意义求解 用定积分的几何意义求值： 13 (3 x 1)d x _ _ _. 答案 16 解析 (1) 由直线 x 1 ， x 3 ， y 0 以及 y 3 x 1 所围成的图形如图所示： 13(3 x 1)d x 表示由直线 x 1 ， x 3 ， y 0 以及 y 3 x 1所围成的图形在 x 轴上方的面积减去在 x 轴下方的面积， 13(3 x 1)d x 123 13 (3 3 1) 12 13 1 3 ( 1) 1 50323 16. 定积分的性质 (1) 计算 33( 9 x3)d x 的值； (2) 已知 f ( x ) x x 0
7、 ， 2 4 x x 2 ， 3 52 3 ， 5，求 f ( x ) 在区间 0,5上的定积分 分析 解答本题可先根据积分的几何意义求出相关函数的定积分，再根据定积分的性质进行加减运算 解析 (1)如图 ， 由定积分的几何意义得 339 x 32292， 33x 0 ，由定积分性质得 33( 9 x3)d x 339 x 33x 92. (2) 由定积分的几何意义得 02x d x 12 2 2 2 ， 23(4 x )d x 12 (1 2) 1 32， 3552x 12 2 1 1. 05f ( x )d x 02x d x 23(4 x )d x 3552x 2 32 1 92. 方法
8、规律总结 (1)利用性质可把定积分分成几个简单的积分的组合 ， 先把每一个积分求出 ， 再求定积分的值 (2)求分段函数的定积分 ， 可先把每一段的定积分求出后再相加 (3)注意函数 f(x)奇偶性 、 对称性的利用 2 定积分的性质的推广 x ) x ) x )d x x )d x x )d x x )d x ； x )d x c1 x )d x x )d x x )d x ( 其中 n N ) 3 奇、偶函数在区间 a ， a 上的定积分 若奇函数 y f ( x ) 的图象在 a ， a 上连续不断， 则 x )d x 0. 若偶函数 y g ( x ) 的图象在 a ， a 上连续不断
9、，则 x )d x 20 x )d x . 计算： 23 2(2 5x )d x _. 答案 2 解析 如图，由定积分几何意义得23 2x d x 0 ， 由定积分的性质得23 2(2 5si n x )d x 223 21d x 523 2x d x 2. 利用定积分求平面图形的面积 分析 可先作出函数图象 ， 再根据图象及几何意义进行表示 将下列曲线围成的平面 区域的面积用定积分表示 (1) y 0 ， y x ， x 2 ； (2) y x 2 ， x 解析 (1) 曲线所围成的区域如图 (1) 所示，设此面积为S ，则 S 02 x d x (2) 曲线所围成的平面区域如图 (2) 所
10、示， S y x ， y x ， x 1 围成； y x ， y x 2 ， x 1 和 x 4 围成 01 x ( x )d x ， 14 x ( x 2)d x ， S 012 x d x 14( x x 2)d x . 方法规律总结 用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是： (1)准确画出各曲线围成的平面区域； (2)把平面区域分割成容易表示的几部分 ， 同时要注意 (3)解由曲线方程组成的方程组 ， 确定积分的上 、 下限； (4)根据积分的性质写出结果 画出下列曲线围成的平面区域并用定积分表示其面积 (1) y | s in x | ， y 0 ， x 2 ， x 5. (2) y 2x ， y 0 ， x 12， x 3. 解析 (1) 曲线所围成的平面区域如图所示 设此面积为 S ，则 S 25 | x |d x 或 S 2 x d
