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1、课件制作：应用数学系概率统计课程组,概率论与数理统计,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2.4.1 连续型随机变量及其概率密度函数,2.4. 常见的连续型随机变量,2.4.1 连续型随机变量及其概率密度函数,定义：设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f(x) 使得,其中 F(x) 是它的分布函数,则称 X 是连续型随机变量，f(x)是它的概率密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数或概率密度,分布函数 F(x)与密度函数 f(x)的几何意义,概率密度函数( p.d.f.) f(x)的性质,1、,2、,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知
2、参数.,3、,在 f(x) 的连续点处，,f(x) 描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值的概率.,注意: 对于连续型随机变量X , P ( X = a) = 0,这里 a 可以是随机变量 X 的一个可能的取值.,命题: 连续型随机变量取任一常数的概率为零.,事实上,对于连续型随机变量X,例2.4.1 设随机变量 具有概率密度函数 试确定常数A， 以及 的分布函数.,解:由,知A=3，即,而 的分布函数为,例2.4.2 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数,解:,综上所述，
3、随机变量X的分布函数为,2.4.2.1 均匀分布,(a ,b)上的均匀分布,记作,2.4.2 常见的连续型随机变量,若 X 的密度函数为 ，则称 X 服从区间,其中,X 的分布函数为,即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d c 的小区间的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.,在进行大量数值计算时，如果在小数点后第k位进行四舍五入，则产生的误差可以看作服从,应用场合:,例2.4.3,设随机变量X服从(1,6)上的均匀分布， 求一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率.,解:,故所求概率为:,而X的密度函数为 :,因此所求概率：,2.4.2.2 正态分布,若X 的
4、密度函数为,则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布,记作 X N ( , 2 ),为常数，,f (x) 的性质：,(1) 图形关于直线 x = 对称： f ( + x) = f ( - x),(2) 在 x = 时, f (x) 取得最大值:,(3) 在 x = 时, 曲线 y = f (x) 在对应的点处有 拐点,(4) 曲线 y = f (x) 以x轴为渐近线,(5) 曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状.,f(x)的两个参数：, 位置参数,即固定, 对于不同的 , 对应的 f(x)的形状不变化，只是位置不同., 形状参数,固定 ，对于不同的 ，f( x)的形状不同.,若 1 2 则
5、,x= 2 所对应的拐点更靠近直线x = .,附近值的概率更大. x = 1 所对应的拐点比,前者取 ,正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线。特点是“两头小，中间大，左右对称”。,决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度。,应用场合:,若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加, 则 X 服从正态分布.,可用正态变量描述的实例非常之多：,各种测量的误差； 人的生理特征；,工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；,海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度；,热噪声电流强度； 学生们的考试成绩；,正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由
6、以下情形加以说明：, 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布, 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的, 正态分布可以作为许多分布的近似分布,正态分布的重要性:,标准正态分布的计算：,一种重要的正态分布：N(0,1) 标准正态分布,-x,x,对一般的正态分布 ：X N ( , 2),其分布函数,作变量代换,设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6),解:,例2.4.4,求 P ( X 0 为常数,
7、对于任意的 0 a b,应用场合:,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布常作为各种“寿命”分布的近似,例2.4.6,令：B= 等待时间为10-20分钟 ,2.4.2.4 伽玛分布,设随机变量X，若X的密度函数为,则称X服从参数为 的伽玛（Gamma）分布,简称 为 分布,注:伽玛函数具有性质：,2.4.2.5 威布尔分布 (自学),2.4.2.6 截尾分布(自学),设测量的误差 XN(7.5,100)(单 位：米),问要进行多少次独立测 量,才能使至少有一次误差的绝对 值不超过10米的概率大于0.9 ?,解:,设A表示进行 n 次独立测量至少有一次误差的绝 对值不超过10米,所以至少要进行 4 次独立测量才能满足要求.,课堂练习,
