2007考研数学四试题及解析

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1、2007 年硕士研究生入学考试数学四试题及答案解析一、选择题：110 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1 ）当 时，与 等价的无穷小量是0xx（A） （B） （C ） （D ） e1ln1x1cosx【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当 时， ， ，0xex: 2:，21cos:故用排除法可得正确选项为（B）.事实上， ，00 011lnln(1)l()1 2imi limxx xxx 或 .lnl(1)ln()()()()oxoxx :所以应选（B）【评注】本题为关于

2、无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.（2 ）设函数 在 处连续，下列命题错误的是：()fx0（A）若 存在，则 （B）若 存在，则 .0limx()f0()limxfx(0)f（B）若 存在，则 （D）若 存在，则 .()f0 【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数 去进行判()fx断，然后选择正确选项.【详解】取 ，则 ，但 在 不可导，故选（D）.()|fx0()lim0xfx()fx0事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为 0，所以分子的极限也必须为 0，则可推得

3、.(0)f在（C ）中， 存在，则0()limxf，所以(C)项正确，故选(D)0()(0),()lixfff【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效. （3 ）如图，连续函数 在区间 上的图形分别是直径为 1 的上、下()yf3,2,半圆周，在区间 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设2,0，则下列结论正确的是：0()()dxFft（A） (B) 3()(2)4F5(3)(2)4F（C ） （D） 【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.【详解】利用定积分的几何意义，可得， ，2213(3)8F21()F.0220201

4、()ddfxfxfx所以 ，故选（C）.33()4【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.（4 ）设函数 连续，则二次积分 等于(,)fxy1sin2d(,)dxfy（A） （B）10arcsind,dy 0arcsin(,)dyfx（C ） （D）2()fx 12【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.【详解】由题设可知， ，则 ，,sin12xy01,arcsinyyx故应选（B）.【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.（5 ）设某商品的需求函数为 ，其中 分别表示需要量和价格，如果该商1602QP,Q品需求弹性的绝对值等

5、于 1，则商品的价格是 (A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. 【分析】本题考查需求弹性的概念.【详解】选（D）.商品需求弹性的绝对值等于 ，d214060QPP故选（D）.【评注】需掌握经济中的边际，弹性等概念.（6 ）曲线 的渐近线的条数为1lnexy（A）0. （B ）1. （C）2. （D）3. 【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解】 ，11limlilne,limlilne0x xxx xxyy所以 是曲线的水平渐近线；0，所以 是曲线的垂直渐近线；01lililnexxxy0x，elln1e1limli im

6、lixxxxx x，所以 是曲线的斜渐近线.1lilil0xxbyy故选（D）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意 当ex时的极限不同.,x（7 ）设向量组 线性无关，则下列向量组线性相关的是123线性相关，则(A) (B) 1231,1231,(C) . (D) . 22【分析】本题考查由线性无关的向量组 构造的另一向量组 的线性相关123, 13,性. 一般令 ，若 ，则 线性相关；若123, A02，则 线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性0A运算得到正确选项.【详解】

7、由 可知应选（A）.12310或者因为，而 ，1231231,001所以 线性相关，故选（A）.1231,【评注】本题也可用赋值法求解，如取 ，以此TTT23,10,1求出（A） ， （B ） ， （C） ， （D ）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.（8 ）设矩阵 ，则 与 2110,AB(A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得 的特征值，并A考虑到实对称矩阵 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案. A【详解】 由 可得

8、 ，221(3)E123,0所以 的特征值为 3,3,0；而 的特征值为 1,1,0.B所以 与 不相似，但是 与 的秩均为 2，且正惯性指数都为 2，所以 与ABAA合同，故选（B）.【评注】若矩阵 与 相似，则 与 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.所以通过计算 与 的特征值可立即排除（A） （C）.（9 ）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 ，则此人第(01)p4 次射击恰好第 2 次击中目标的概率为（A） . （B） .3(1)p26(1)p（C ） . （D） 2【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数.【详解】p前三次

9、仅有一次击中目标，第 4 次击中目标，1223()3(1)pp故选（C）.【评注】本题属基本题型.（10 ）设随机变量 服从二维正态分布，且 与 不相关， 分别表示,XYXY(),XYfxy的概率密度，则在 的条件下， 的条件概率密度 为,XYy|Y(A) . (B) . ()fx()Yfy(C) . (D) . XYfy()XYxf【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用 与 的独立性和公式可求解.| (,)()XYYfxfy【详解】因为 服从二维正态分布，且 与 不相关，所以 与 独立，所以, XYXY.(,)()XYfxyfy故 ，应选（A）.| ()(, ()XYXYfxyff fx

10、【评注】若 服从二维正态分布，则 与 不相关与 与 独立是等价的., Y二、填空题：1116 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.（11 ） _.321lim(sinco)xx x【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.【详解】因为 ，3232110lilim,|sinco|2xxxx x所以 .32li(sinco)xx x【评注】无穷小的相关性质：（1 ） 有限个无穷小的代数和为无穷小；（2 ） 有限个无穷小的乘积为无穷小；（3 ） 无穷小与有界变量的乘积为无穷小.（12 ）设函数 ，则 _.13yx()0ny【分析】本题求函数

11、的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.【详解】 ，则 ，故 .2,2() 1)2!3nnyx()1)2!03nny【评注】本题为基础题型.（13 ） 设 是二元可微函数， ，则 _.(,)fuv,yxzfzy【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可.【详解】利用求导公式可得，122zyfx，12ffy所以 .12zyxxf【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.（14 ）微分方程 满足 的特解为 _.3d12yx1xyy【分析】本题为齐次方程的求解，可令 .u【详解】令 ，则原方程变为yux.3d1d22xu两边积分得，2lnlxCu即 ，将 代入左

12、式得 ，221eeyxxC1xeC 故满足条件的方程的特解为 ，即 ， .2exyln1x1e【评注】本题为基础题型.（15 ）设矩阵 ，则 的秩为 . 01A3A【分析】先将 求出，然后利用定义判断其秩.3【详解】 .30101()AArA【评注】本题为基础题型.（16 ）在区间 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 的概率为 .0,1 12【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间 上的均匀分布，利用几何概型计算较0,1为简便.【详解】利用几何概型计算. 图如下：A1/2 111/2 1Oyx所求概率 .2134ADS【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性

13、求得所求概率.三、解答题：1724 小题，共 86 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17 ） (本题满分 10 分)设函数 由方程 确定，试判断曲线 在点 附近的(yxln0yx()yx1,)凹凸性.【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得.【详解】 方程 两边对 求导得ln0yxx，ln10y即 ，则 .(2ln)1y()2上式两边再对 求导得x(ln)0yy则 ，所以曲线 在点 附近是凸的.1()8y(x1,)【评注】本题为基础题型.（18 ） (本题满分 11 分)设二元函数 ，计算二重积分 ，22,|11(, 2xyfxyxy D(,)dfxy其中 .,|D【分析】由于积分区域关于 轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分.,x【详解】因为被积函数关于 均为偶函数，且积分区域关于 轴均对称，所以y,xy，其中 为 在第一象限内的部分.1DD(,)d(,)dff1D而 1 221,012,0, dxyxyf xy222