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1、第二章连续信号分析,第一节 连续信号的时域分析第二节 连续信号的频域分析 第三节 信号的相关分析,第一节 连续信号的时域分析,一、连续信号的时域描述,信号的时域描述信号取值随时间的变化关系;直观地反映信号的时间历程;不能反映信号地频率结构;用于简单信号的描述.推广：,信号取值随其它连续变量的关系，如： 表面粗糙度随测量长度的变化; 导线电阻随导线长度的变化; 热变形大小随温度的变化。,基 本 信 号,信号处理中常用的信号时域信号数学意义上的精确信号特点：简单、直观、物理概念清楚 易于理解用于构成各种复杂信号,普通信号： 正弦信号 指数信号奇异信号：若信号本身有不连续点，或其导数与积分存在不连续
2、点，而且不能以普通函数的概念来定义，则称此类信号为奇异信号，反之，则称为普通信号。 斜坡信号 单位阶跃信号 符号函数 单位冲激信号 冲激偶信号,基本信号,1、正弦信号,表达式：,振幅：,周期：,频率：,角频率：,初相：,普通信号的时域描述,2）两个同频正弦信号相加，仍得同频信号，且频率 不变，幅值和相位改变。,1）正弦信号的微、积分仍为正弦信号。,4）频率比为有理整数的正弦信号合成为非正弦周期 信号，以低频（基频f0）为基频，叠加一个高频 (频nf0)分量。,5）复杂周期信号可以分解成（无穷）多个正弦信号 的现行组合。,3）频率比为无理数时，合成信号为准周期信号。,正弦信号的性质,常用的是指数
3、衰减正弦信号：,表达式：,2、指数信号,指数衰减,指数增长,直流(常数),参数不同时图像不同！,实际应用较多的是衰减指数信号：,通常把 称为指数信号的时间常数，记作，代表信号衰减速度，具有时间的量纲。,正弦信号和余弦信号常借助于复指数信号来表示，由欧拉（Euler）公式：,衰减的复信号,0时,发散复信号,讨论：,结论:表示信号频率,越大，频率越高表示信号幅值衰减程度，|越大，变化越快正弦信号与复指数信号的关系(欧拉公式):,信号本身、或其导数不连续的信号是信号分析的数学工具理想的数学函数,奇异信号的时域描述,1、 单位斜坡信号,定义,有延迟的单位斜坡信号,在t-t0 = 0处，导数不连续,在t
4、=0处，导数不连续,2 、单位阶跃信号,定义,在 处，信号发生跳变,有延迟的单位阶跃信号,3、 矩形窗信号,用途：信号的截断,可用阶跃信号表示为：,4、 符号函数(Signum),2u(t),5、单位冲激信号,1 狄拉克函数定义2 极限定义3 冲激函数的性质,1 狄拉克(Dirac)函数定义,函数值只在 t = 0 时不为零；,积分面积为1；,t =0 时， ，为无界函数。,t,0,2 极限定义,面积1,脉宽；,脉冲高度；,则窄脉冲集中于 t=0 处。,面积恒为1,宽度为0,考虑：矩形脉冲函数宽度0时的极限 窗高窗宽的倒数，面积1,当0时，窗高,若面积为k，则强度为k。,三角形脉冲、双边指数脉
5、冲、钟形脉冲、抽样函数取0 极限，都可以构成冲激函数。,2 极限定义,时移的冲激函数,强度,定义：,3 冲激函数的性质,1）抽样性2）奇偶性3）卷积特性4）冲激偶5）小结,(t)函数是一纯数学函数但在信号分析中特殊性质：,抽样性(筛选性),如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有,积分只与t=0时f(t)的取值有关,抽样性(筛选性),对于移位情况：,意义：用于对模拟信号采样。,奇偶性,由图象可直观证明,1、由定义，矩形脉冲本身是偶函数，故极限也是偶函数。,证明奇偶性时，主要考察此函数的作用，即和其他函数共同作用的结果。,奇偶性,2、由抽样性证明奇偶性。,卷积特性,卷积定义：称 为信号
6、和 的卷积。,冲激偶,冲激偶的性质,抽样特性,利用分部积分运算,冲激偶的性质,时移，则：,抽样特性,奇偶性,微积分特性,冲激函数的性质总结,（1）抽样性,（2）奇偶性,（3）微积分性质,（4）冲激偶,（5）卷积性质,小结： R(t)，u(t)， (t) 之间的关系,二、连续信号的时域运算,基本运算叠加和相乘微分和积分积分运算,1、尺度变换,波形的压缩与扩展，又称标度变换，时间压扩。,原信号f(t)以原点(t0)为基准，沿横坐标轴展缩到原来的1/a。方法：将原信号f (t)中自变量t at，得到f (at)。,幅度尺寸变换： 基本特性不变，幅度放大或缩小a倍如线性放大器。,时间尺寸变换： 基本特
7、性发生变化，时间坐标压缩或扩展。,（一）信号的基本变换,时间尺度压缩或扩展取决于a:a1时间尺度压缩；录音带快放0a1时域压缩频域（带）扩展a 0，右移(滞后), 1，压缩a倍； a,2、再展缩；,3、后平移；,1、先翻转；,解:,已知f(t)，求f(3t+5)。,X,尺度变换,= f 3(t+5/3),（二）叠加和相乘,若 是两个连续信号，它们的和（差）定义为：两信号瞬时值和（差）,连续系统叠加,若 是两个离散信号，它们的和（差）定义为：两信号对应点取值之和（差）,+,=,离散系统叠加,若 是两个连续信号，它们的积定义为：两信号瞬时值之积,=,两个连续信号，它们的商定义为：两信号瞬时值之商,
8、连续系统乘除,离散系统乘除,离散信号的积定义为两离散信号对应点的积，即内积。,离散信号的商定义为两离散信号对应点的商。,冲激信号,（三）微分和积分,性质：,运算：变量代换翻转平移乘积 积分,定义：称 为信号 和 的卷积。,（三）卷积,例：求两信号的卷积,求：,解：变量代换 t ,变量代换：t ;x2翻转x2(-);左移t x2(-+t), t4时，x(t)=0.,x2(-),X2(),计算卷积的关键：正确划分时间变量t 的取值区间；正确确定积分的上、下限。分段函数图解法具有的效果好。,卷积的性质,1、交换率：,2、分配率：,3、结合率：,5、卷积的积分：,4、卷积的微分：,函数f(t)与冲激函
9、数或阶跃函数的卷积,1、 f(t)与冲激函数卷积，结果是f(t)本身,证明：根据卷积定义和冲激函数的抽样性质,类似有：,2、 f(t)与冲激偶的卷积,(t)称为微分器,3、 f(t)与阶跃函数的卷积,u(t)称为积分器,推广：,为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将复杂信号分解为一些简单(基本)的信号之和，分解角度不同，可以分解为不同的分量,直流分量与交流分量偶分量与奇分量脉冲分量实部分量与虚部分量正交函数分量利用分形理论描述信号,二、信号的分解,(一）分解成冲激函数之和,(1) 矩形窄脉冲序列,窄脉冲面积为：,将信号分解成一系列脉冲函数的代数和。,当 时,脉冲高度：,在区间,内：,(2)
10、f(t)表示为矩形窄脉冲序列之和,表示在t =时的一个单位脉冲,结论：任意信号都可以分解成无穷密集的、不同强度的冲激函数之加权和；加权系数该点的函数值。,(3) f(t)表示为单位脉冲函数的代数和,信号的正交分解,信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的概念相似。,矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。,一、正交函数集,（2）正交函数集 在区间 上的n个函数（非零） ,其中任意两个均满足 ，为常数，则称函数集 为区间 内的正交函数集。,（1）正交函数 在 区间上定义的非零实函数 和 若满足条件 则函数 与 为在区间 的正交函数。,函数正交的充要条件是它们的内积为0,在（t1,t2)区间内定义两个非零实函数f1(t)和f2(t),若满足,则f1(t)和f2(t)在（t1,t2）区间内正交。,（3）完备正交函数集,在区间 内组成完备正交函数集。,这是因为：,对于复函数:,若复函数集 在区间 满足,，则称此复函数集为正交函数集。,复函数集 在区间 内是完备的正交函数集。,其中 。,二、信号分解为正交函数,根据最小均方误差原则P119，可推出：,式中：,
