三角形内一点对应的向量性质及其空间推广1

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1、三角形内一点对应的向量性质及其空间推广杨 尧 伟（河南省渑池高级中学，472400）本文将给出三角形内一点的一个向量性质并对其进行空间拓广。1 三角形内一点的一个向量性质 0 OCSOBSOASCABABC内 一 点 ， 则是 三 角 形设证一 OBB AOAA ,1 其 中， 设如 图 0 BAC0 OBAOO0sin21 sin21i OBABO AC0 OBSSCSABOAAOB CCBA ;OBCA图 10 OCSOBSOAS ABACBCOCByOAB Bx 0,得 ”向 量等 式 两 边 “证 二 ， 设，等式两边“”向量AyOCBCAxOBCxAOC0得 ,2 ,2OBC OAB

2、SCOB S 由 两 向 量 外 积 的 定 义 得OACSA2SBSOOBCOCA 0OCSABAB即 证 得2 性质的推论（O 在三角形内部） 若 O 是三角形的外心 CRSBRAOCS ABOOACB 2sin1,2sin1sin21 ,ii2 为 外 接 圆 半 径02sin2sinsin2A OCOBO得 若 O 是三角形的内心 根 据 正 弦 定 理 ）或 是 内 切 圆 半 径 (0sinsinsin 21,21.,21 OCBOACB rBCSrASrS OBCOACA 若 O 是三角形重心 031 OCBABCSSSOBCACABQ 若 O 是三角形垂心如图 2，O 是垂心，

3、连接 AO 交 BC 于 D,连接CO 交 AB 于 F.ACBOFD图 2ABCOBC SADSCBFAACBCBACDFBOADBCCBDAB tanttan21tttatanttntat tanttantant tantta,tn,tn同 理 中 由 梅 涅 劳 斯 定 理 得 ：在 同 理 0tantantan tantt,t OBA CSCABC3 性质的空间拓广 0: ODVCVBVOAVCDABCABDOABCD则 内 一 点 ，是 四 面 体若A ADCBO 1 1BO1CA图 30);( 00sinsin21 sisisinsin21 sisi( 00,3111 11111

4、111 1111 111111 111 ODVOCVOBVOAV BDCOBDBOOCCOCDBOCOBABCDOBDOOCBCBAOBDOCOABDOCOCOBDABACBADACDBCD CBBO CDOBBD所 成 角 ）与 平 面为记其 中 ， 设证 一 ： 如 图 0,6)( ) ODVOCV BAVzyVVOACOBDxOCBzy AxOCBzByADACBOBDAO CADOBCDOBABCAD同 理 意 义根 据 向 量 混 合 积 的 几 何两 边 同 乘 （证 二 ： 设4 空间性质的推论 若 O 为四面体内切球球心，则 0 SCSBSAS ABADCDBCD 若 O 是四面体的重心，则 0参考文献：1 张俊.三角形重心的一个向量性质及其空间拓广 .数学通讯，2008 （5）2 张俊.三角形内心的向量性质及其空间拓广，数学通讯，2009 （1）3 李显权.三角形五心的一个统一向量性质，数学通讯，2010(7)4 陈和平. 三角形五心的一个向量统一表示，数学通讯，2009 （1）个人资料：性别：男学位：学士职称：中学数学一级教师电话：13839827012邮箱：yyw_