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1、数学分析习题解答 17 多元函数微分学17.1 多元函数微分学1求下列函数的偏导数：(1) 2,;xyzx=(2) cosin,;xyzzx-(3) 3322,;()()xyzzx-=+(4) 2ln22,;xyzzx=+(5) ,;xyxyze=(6) arctn2221.,;()x yyxzzx-=+(7) sin()2sin()sin()co1cos(),1c;xyxyxyxyzeeuxye=+=+(8) uxz-22211,;xyzxuxy=-=+数学分析习题解答 17 多元函数微分学(9) 11(),(),()ln;zzzxyuuxuxy-=(10) z11,ln,ln;z zzyy
2、yx zuxux-2.设 ；求(,)()arcsif=+-(,1)xf解法 1： 则1(,),/2yfxxy-(,)f=解法 2： (,)0arcsin,(1)xf f=+3设 ，考察函数 f 在原点（0，0）的偏导数。221i,0,(,)0,yyxfx 解： 因为 0 0(,)(,)limlim,x xxffDD+-=不存在. 所以， 在原点关于 的偏导数为20 0(,)(,)1li li()y yyff- (,)fxyx0，关于 y 的偏导数不存在。4证明函数 在点（0，0）连续但偏导数不存在 . 证明： 记 则 而cos,in,xyrq=()0,.xyr(0,).f=所以 即 在点 连2
3、(,)0, 0limli.xyr+2(,)0,lim,xy+=2zxy+(0,)续.然而， 不存在，即 不存在，同理 不存在.20 0(,)(,)li lix xxxffDD-=(0,)xf (0,)yf5考察函数 在点（0，0）处的可微性解： 同理 而00(,)(,)(,)limlim,xx xfff-=(0,).yf=数学分析习题解答 17 多元函数微分学。所以，20 01 1lim(,)(0,)(,)limsncoi0.xyfyffr rqr -=2()xy+。即函数 在点 处可微。()x=+f,)6证明函数 在点（0，0）连续且偏导数存在，但在此点不可22,(,)0,xyf=微。证明：
4、记 ，则 等价于cos,inxygq=(,)0,xy0.g（1） 即 在点 处连续。22(,)0, (,)0, 0limlilimcosin(,)xyxyf fgq=+f(0,)（2） ， 。即函0(,)(,)(,)lixxxfffD-=0 0(,)(,)(,)li limyyyyfffD-=数 在点 处偏导数存在。y,（3）设 则当2xyr+,()(0,xyr则 不存在，所以函数 3220 001 cosinlim(,)(0,)(,)limlcosinxxfffr r rqqr -=在点 处不可微.f7证明函数 在点（0，0）连续且偏导数存在，但偏导数在（0，0）不连续，而 在原点（0，0）
5、可微.证明：由于 所以 在点 连续。22(,)0, 1lim)sin(,)xyyfxy+=(,)fxy(0,)且 同理0 0,)(,)1(,)li limsin0.|x xxx xfffDD-= =(,).yf=所以 在点 偏倒数存在。f,但当 时，20xy+ 22211(,)sincos,x xfyxyyy=-+数学分析习题解答 17 多元函数微分学而 不存在。222(,)0, (,)0,11limsinlimcosxy xyxxyy=+因此， 不存在，从而 在点 不连续。同理可证 在点(,)0,li()xxyfy(,)xf(0,)(,)xfy不连续。然而, , 2 22 2()(0, ()
6、(0, 1li lisin0,(0)xy xyyyxy xyx xyf rDD- +=D+D+所以 在点 可微f)8.求下列函数在给定点的全微分：（1） 在点（0，0） ， （1，1） ；42zxy=+-（2） 在点（1，0）和（0，1） 。2解：（1）因为 在点 连续，所以函数在 可323248,48xyzzxy=-=-(0,)1、 (0,)1、微。 可得(0,),(0)(1),(1)4xyxz -(,)1(1,)| .zzxydd-+（2）因为在点（1，0） 、 （0，1）连续，所以函数在（1，0） 、 （0，1）可微，由可得(,),(),(),()0xxyyz=(1,0)(,).|zzx
7、dd=9 求下列函数的全微分：（1） ；（2） .解：显然函数 和 的偏导数连续，于是 和 可微，且zuzu（1）因 所以cos(),sin()cos(),zyxxyxyy=+=+()i ;dzdd（2）因 所以,1,yzyzyzuuexexex -=+=()().yzyzyzddd-数学分析习题解答 17 多元函数微分学10求曲面 在点（1，1， ）处的切平面方程和法线方程。arctnyzx=4p解：因 在 处可微，从而切平面存在。rt(,)且 切平面方程：(1,) (1,)2 2(1,)|,(1)|.2x yyxf fy=-=-=+即 法线方程： 即()(),4zp-.xzp- 14,12
8、zxyp-=14.2zxyp-=11求曲面 在点（3，1，1）处的切平面方程和法线方程。37xz+-=解：分别对 求导得,y620,20yxz-=得 在点（3，1，1）处有 ，所以根据切平面方程定义得切平面方,.xyzz=9,1xy程为： ，即 9x+y-z-27=0.9()()0z-+-=法线方程为： 即 x-3=9(y-1)=9(1-z).,1-12在曲面 z=xy 上求一点，使这点的切平面平行于平面 x+3y+z+9=0；并写出这前平面方程和法线方程。解：设所求点为 ，点 处切平面法向量为：0(,)PxyzP0 0(,)1,1).xyz-=-要使切平面与平面 x+3y+z+9=0 平行，
9、则有 于是求得031,yx=-003,1,xy=-则 点为（-3，-1 ，3） ，且点 处的切平面方程为：PP()(1)(),z+即 x+3y+z+3=0.法线方程为： 即313,xyz+-=- 3.xy=-13计算近似值：（1） ；数学分析习题解答 17 多元函数微分学（2） .解：（1）选函数于是2300(,),(,)(1,23)0.2,.03,.04fxyzPxyzxyz=D=D故2(1,23) (1,3) (1,3),|8,|8,(1,)|8.x y zfyzfxy=(1.0.4() ,xyzf f f+80.0.40.972=+=（2）选取函数 则0(,)sinta,()(,),.6
10、180fxyyPxxypp=D-=(,)sinta.5,644fpp3(,)costan,6442xf =所以2(,)iec1,yf=2946(,)sin9ta46(,)(,)(,)180 64643.5(1)0.523xyf fffppp+D=+-=o14设圆台上下底的半径分别为 R=30cm,r=20cm,高 h=40cm.若 T,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm,求此圆台体积变化的近似值。解：圆台体积 ，于是 ，其中22()3hVRrp=+RrhVVD+D22, ,()33Rr hrrRpp=+将 及 代入上式得30,40,rh.,0.4,.3(30,24) 2819.3.2805
11、76.3V cmppD+=17.2 复合函数微分法1求下列复合函数的偏导数或导数：（1）设 ，求 dzx解：令 ，由复合变量的求导法则有uxy=数学分析习题解答 17 多元函数微分学=dzx222(1)()1xudyxexye +=+=（2）设 ，求22xyze+,zy解： 2 2222 22222()()(1),xy xyxyxyzyeexyzxe+ +- -=-=g（3）设 ，求 解： 32(2)(2)4.dzxzdyxtytt=+=+（4）设 ln,32,;uzzxyvvu-、解： 22 21ln33ln(3),11ln()32zxzyxuuvyvvzxzyuvu=+=+-g（5）设 ，
12、求解：用 分别表示函数 对第一个中间变量 与第二个中间变量 的偏导数。12,ff()xy+()xy1212.,uufyfxx=+数学分析习题解答 17 多元函数微分学（6）设 (,),.xyuufzz=、解： 11222, ,.uxuyfffxyyzz=-+=-2设 ，其中 f 为可微函数，验证2()zf- 21.zzxy+=解：设 2222 222,()11()()()1()()1().uxyzxfuzyfuyfuyffzfufyfuxy f=-+=+-=- =、3设 其中 f 为可微函数，证明sin(isn),zyfxy=+- secs1.zzxy+=证：设 则i,u()cos,(1)co
13、s.se()1.zzfxfuyxyf=-+=+-=4设 f(x,y)可微，证明：在坐标旋转变换， 之下，cosin,sicosxuvyuvqq-=+ 是一个形式不变量。即若 ，则必有2()xfy (,)( ),gvf+ = （其中旋转角 是常数）22()uvg证： 数学分析习题解答 17 多元函数微分学22222222cosin,(i)cs) incosinsins(cosi)(i).uxyvuvxyxyxyxyxygffffff ffqqqq=+- +-=+5.设 是可微函数， 试求 .解： 34.2()00,().xtxtFfffF=+-=、17.3 方向导数与梯度1求函数 在点 处沿 方向23uxyz=+-（其方向角分别为 60 ，45 ，60 ）的方向导数.解：函数 在点(1,1,2)处可微.且23xyz-(1,2)(1,2)(1,2)|0|,uux=-=于是沿方向的方向导数为.(1,2)|cos60cs45cos605uutxyz=+=2. 求函数 在点 到点 的方向 上的方向导数.z(,12)AABur解：函数 在点 A(5,1,2)处可微，且uxy=(5,12),(51,2)0,(51,2),xyzu
