《初中数学竞赛辅导资料(初一用)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学竞赛辅导资料(初一用)（65页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 （共 65 页）初中数学竞赛辅导资料第一讲数的整除一、内容提要：如果整数 A 除以整数 B(B0)所得的商 A/B 是整数,那么叫做 A 被 B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征除 数 能被整除的数的特征2 或 5 末位数能被 2 或 5 整除 4 或 25 末两位数能被 4 或 25 整除8 或 125 末三位数能被 8 或 125 整除3 或 9 各位上的数字和被 3 或 9 整除(如 771，54324)11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被 11 整除(如 143,1859,1287,908270 等)7,11,13 从右向左每三位为一段,奇数
2、段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被 7 或 11 或 13 整除.(如 1001，22743，17567，21281 等)能被 7 整除的数的特征：抹去个位数减去原个位数的 2 倍其差能被 7 整除。如1001100298（能被 7 整除）又如 700770014686，681256（能被 7 整除）能被 11 整除的数的特征：抹去个位数减去原个位数其差能被 11 整除如1001100199（能 11 整除）又如 10285102851023102399（能 11 整除）二、例题例 1 已知两个三位数 328 和 的和仍是三位数 且能被 9 整除。92x75y求 x,y解：x,y 都是
3、0 到 9 的整数， 能被 9 整除，y=6.y328 567，x=32x例 2 已知五位数 能被 12 整除，求134x解：五位数能被 12 整除，必然同时能被 3 和 4 整除，当 1234 能被 3 整除时，x=2，5，8x当末两位 能被 4 整除时， 0，4，8第 2 页 （共 65 页） 8x例 3 求能被 11 整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是 10234，但（124）（03）4，不能被 11 整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为 30，41，52，63，均可，五位数字都不相同的最小五位数是 10263。练习一1、分解质因数：（写成质因数为底的幂
4、的连乘积）75618591287327610101102962、若四位数 能被 3 整除，那么 a=_a9873、若五位数 能被 11 整除，那么 _124xx4、当 m=_时， 能被 25 整除5m5、当 n=_时， 能被 7 整除n96106、能被 11 整除的最小五位数是_,最大五位数是_7、能被 4 整除的最大四位数是_，能被 8 整除的最大四位数是_。8、8 个数：125，756，1011，2457，7855，8104，9152，70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6_,8_,9_,11_9、从 1 到 100 这 100 个自然数中，能同时被 2 和 3 整除的共_个，
5、能被 3 整除但不是 5 的倍数的共_个。10、由 1，2，3，4，5 这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被 3整除的数共有几个？为什么？第 3 页 （共 65 页）11、已知五位数 能被 15 整除，试求 A 的值。A123412、求能被 9 整除且各位数字都不相同的最小五位数。13、在十进制中，各位数码是 0 或 1，并能被 225 整除的最小正整数是_（1989 年全国初中联赛题）第二讲 倍数约数一、内容提要1、两个整数 A 和 B（B0） ，如果 B 能整除 A（记作 B A） ，那么 A 叫做 B的倍数，B 叫做 A 的约数。例如 315，15 是 3 的倍数，3 是
6、15 的约数。第 4 页 （共 65 页）2、因为 0 除以非 0 的任何数都得 0，所以 0 被非 0 整数整除。0 是任何非 0 整数的倍数，非 0 整数都是 0 的约数。如 0 是 7 的倍数，7 是 0 的约数。3、整数 A（A0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，A，2A，都是 A 的倍数，例如 5 的倍数有5，10，。4、整数 A（A0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括1 和A。例如 6 的约数是1，2，3， 6。5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。6、公约数只有 1 的两个正整数叫做互质数（
7、例如 15 与 28 互质） 。7、在有余数的除法中，被除数除数商数余数。若用字母表示可记作：ABQ R ，当 A，B ，Q，R 都是整数且 B0 时，AR 能被 B 整除。例如 23372，则 232 能被 3 整除。二、例题例 1 写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，2 2，2 3，2 4，3，3 2，3 3，3 4，23，2 23，2 232 。解：列表如下正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计21，22 31，32 231，2，3，64221，2，43 32 1，3，323 2231，2，3，4，6，126231，2，4，8 4 331，
8、3，32，3 3 4 22321，2，3，4，6，9，12，18，369241，2，4，8，165 341，3，3 2，33，3 4 5其规律是：设 Aa mbn (a，b 是质数,m，n 是正整数) ，那么合数 A 的正约数的个数是（m+1）(n+1)例如求 360 的正约数的个数解：分解质因数：3602 3325，360 的正约数的个数是（31）（21）（11）24（个）例 2 用分解质因数的方法求 24，90 最大公约数和最小公倍数解：242 33，9023 25最大公约数是 23， 记作（24，90）6最小公倍数是 23325360， 记作24,90=360第 5 页 （共 65 页）
9、例 3 已知 32，44 除以正整数 N 有相同的余数 2，求 N解：322，442 都能被 N 整除，N 是 30，42 的公约数（30，42）6，而 6 的正约数有 1，2，3，6经检验 1 和 2 不合题意，N 6，3例 4 一个数被 10 余 9，被 9 除余 8，被 8 除余 7，求适合条件的最小正整数分析：依题意如果所求的数加上 1，则能同时被 10，9，8 整除,所以所求的数是10，9，8 的最小公倍数减去 1。解：10,9,8=360,所以所求的数是 359练习二1、12 的正约数有_,16 的所有约数是_2、分解质因数 300_,300 的正约数的个数是_3、用分解质因数的方
10、法求 20 和 250 的最大公约数与最小公倍数。4、一个三位数能被 7，9，11 整除，这个三位数是_5、能同时被 3，5，11 整除的最小四位数是_，最大三位数是_6、已知 14 和 23 各除以正整数 A 有相同的余数 2，则 A_7、写出能被 2 整除，且有约数 5，又是 3 的倍数的所有两位数。8、一个长方形的房间长 1.35 丈，宽 1.05 丈，要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作为边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？第 6 页 （共 65 页）9、一条长阶梯，如果每步跨 2 阶，那么最后剩 1 阶；如果每步跨 3 阶，那么最后剩 2 阶；如果每
11、步跨 4 阶，那么最后剩 3 阶；如果每步跨 5 阶，那么最后剩 4 阶；如果每步跨 6 阶，那么最后剩 5 阶；只有每步跨 7 阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？第三讲质数合数一、内容提要1、正整数的一种分类：质 数合 数质数的定义：如果一个大于 1 的正整数，只能被 1 和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数） 。合数的定义：一个正整数除了能被 1 和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。2、 根椐质数定义可知 质数只有 1 和本身两个正约数。 质数中只有一个偶数 2。如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是 2；如果两个质数的积是偶数，那么
12、其中也必有一个是 2。3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。二、例题例 1 两个质数的和等于奇数 a (a5)，求这两个数。解：两个质数的和等于奇数必有一个是 2第 7 页 （共 65 页）所求的两个质数是 2 和 a2。例 2 已知两个整数的积等于质数 m, 求这两个数。解：质数 m 只含两个正约数 1 和 m,又（1） （m）=m所求的两个整数是 1 和 m 或者1 和m.例 3 已知三个质数 a,b,c 它们的积等于 30，求适合条件的 a,b,c 的值。解：分解质因数：30235适合条件的值共有： ， ， ， ， ， 532cba523cba325c
13、ba应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为 4 个质数 a,b,c,d 它们的积等于210,即 abcd=2357，那么适合条件的 a，b，c，d 值共有 24 组，试把它写出来。例 4 试写出 4 个连续正整数，使它们个个都是合数。解：（本题答案不是唯一的）设 N 是不大于 5 的所有质数的积，即 N235 那么 N2，N3，N4，N5 就是适合条件的四个合数即 32，33，34，35 就是所求的一组数。本题可推广到 n 个。令 N 等于不大于 n+1 的所有质数的积，那么 N2，N3，N4，N（n+1）就是所求的合数。练习三1、小于 100 的质数共_个，它们是_2、已知质数 P 与
14、奇数 Q 的和是 11，则 P_，Q _3、已知两个素数的差是 41，那么它们分别是_4、如果两个自然数的积等于 19，那么这两个数是_；如果两个整数的积等于 73，那么它们是_；如果两个质数的积等于 15，则它们是_。5、两个质数 x 和 y，已知 xy=91,那么 x=_,y=_,或x=_,y=_.6、三个质数 a,b,c 它们的积等于 1990，那么_abc7、能整除 3115 13 的最小质数是_8、已知两个质数 A 和 B 适合等式 AB 99，ABM，求 M 及 的值。BA第 8 页 （共 65 页）9、试写出 6 个连续正整数，使它们个个都是合数。10、具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？11、求适合下列三个条件的最小整数： 大于 1没有小于 10 的质因数不是质数12、某质数加上 6 或减去 6 都仍是质数，且这三个质数均在 30 到 50 之间，那么这个质数是_13、一个质数加上 10 或减去 14 都仍是质数，这个质数是_。第四讲 零的特性一、内容提要（一）零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是
