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1、（一）数学系一年级数学分析期末考试题 学号 姓名 一、 （满分 10 分，每小题 2 分）单项选择题：1、 、 和 是三个数列，且存在 N, nN 时有 ，则（ nabncnabnc）A 和 都收敛时， 收敛； B. 和 都发散时， 发散；nnnanC 和 都有界时， 有界； D. 有界时， 和 都有界；abcbnac2、 )(xf,0 , .( , ,sixkk为 常 数 ）函数 在 点 必 （ ）)(xf0A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续3、 （ ）在点 必 （ ）f00xA. ； B. ;fx)()(lim0220 00)()(limxffxC. ; D. ；00)(
2、)(li xffx ffx)()(li004、设函数 在闭区间 上连续，在开区间（ ）内可微，但 。)(fba, ba, )(afbf则（ ）A. （ ） ，使 ； B. （ ） ，使 ;ba,0)(f ,0)(fC. （ ） ，使 ；xxD.当 时，对 （ ） ，有 0 ；)(ffba,)(xf5、设在区间上有 ， 。则在上有（ cxFdf)()(cGdg)(）A. ； B. ；)()(Gxgf cxFxf )()(C. ； cxdd)(D. ；cxGFdxgdxFf )()()(二、 （满分 15 分，每小题 3 分）填空题 ：1 ；12limxx2 。 在区间 上的全部间断点为 ；)sg
3、n(co)(f(f,3 , ；x2i6)1(4 函数 在 R 内可导，且在（ ）内递增，在（ ）内递减,)(f 1,1， 的单调递减区间为 ；xeF)(F5 ；df)(12三、 （满分 36 分，每小题 6 分）计算题：1、 ;xx20sinlim2、把函数 展开成具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 ;eh3、 ；dxarctgex114、 ,计算积分 ；xf)(2f)(5、 ；d326、斜边为定长 的直角三角形绕其直角边旋转，求所得旋转体的最大体积 ;c四、 （满分 7 分）验证题：由有“ ”定义验证数列极限 ；N 3252lim0nh五、 （满分 32 分，每小题 8 分）
4、证明题：1 设函数 和 都在区间上一致连续，证明函数 在区间上一)(xfg )(xgf致连续；2 设函数 在点 可导且 ，试证明： ，其中)(f00)(xf y0)(xdf；0xxfy3 设函数 在点 具有连续的二阶导数，试证明：)(fa ；)(2)()(lim0 afhfaffh 4 试证明： .xxsin2（二）一年级数学分析考试题 一、 （满分 10 分，每小题 2 分）判断题：1、无界数列必发散； （ ）2、若对 0，函数 在 上连续，则 在开区间（ ）内连续； fba,fba,（ ）3、初等函数在有定义的点是可导的； （ ）4、 ，若函数 在点 可导， 在点 不可导，则函数 在点f
5、0x0xf0x必不可导 ； （ ）5、设函数 在闭区间 上连续，在开区间（ ）内可导，但 ，则fba, ba, )(bff对 ，有 ； （ ）),(bax0)(x二、 （满分 20 分，每小题 4 分）填空题 ：1、 ；10286)(limnn2、曲线 的所有切线中，与直线 垂直的切线是 ；xyl02yx3、 ， ；)1(2dy4、函数 二阶可导， ， 则 ；)xf )(xfe2y5、把函数 展开成具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 ，2(xf；)(xf三、 （满分 30 分，每小题 6 分）计算题:1、 ；xex3lim)1(2n4li02、 ；求 ,( ,00ff xfx)
6、2(li03、 ， 求 ；xysincoidy4、 ， 求 ；xysin2)80(y5、 ；210)lm(ixx四、 （满分 40 分，每小题 8 分）证明题：1、设函数 在区间上满足 Lipschitz 条件： 0， ，)(f L21,x有 ，证明 在区间上一致连续；)(2xf21xLf2、证明函数 在点 不可导 ；)(f13、设函数 在 R 内连续且 ，试证明 在 R 有最小值；x)(limxf )(xf4、设 ， 在 上可导，在（ ）内可导，证明 ，使得0ab)(fba,ba, ),(ba；)(22f5、设函数 和 可导且 ，又 ，证明 ，其中fg0f 0)( xgf )(xcfg为常数
7、.c（三）一年级数学分析考试题 一 对错判断题：1、设 为两个数列，若 （ ）则 nyx, nyxf L 21、nnyxlimlif；（ ）2、若函数 以 为极限，则 可表为 ； （ ）)(fA)(f )()(oAxf3、设 定义于 上，若 取遍 与 之间的任意值，则 比在xba,xab)(xf 上连续； （ ）ba,4、若 在 连续，且 存在，则 在 有界;（ ）)(xf, )(limxfx)(xf,a5、若 的导数 在 上连续，则必存在常数 L,使y)(fba,， ； （ ）2121)(xLxffx, 216、 当 时， ； （ ）0 0)n( )()( fnmnmoo ； （ ）0a n
8、 nna7、若 和 在 点都不可导，则 在 点也不可导;)(xfg0x)(xgf0（ ）8、 为上凸函数的充要条件为，对上任意三点 有：)(f 321xp（ ）1312 )()(xffxf9、若 在 二阶可导，则（ ）为曲线 的拐点的)(f00,f )(xfy充要条件为 ； （ ）)x10、若 S 为无上界的数集，则存在一个递增数列 ,使得Sxn； （ ）)( , nxn二 单项选择题：1、设 在 处连续， 则 （ ）)(xf0 , )1xkx kA. 1 B. C. D. 1ee12、设 当 是不连续是因为 （ ）)(xf0 x 2fpA. 在 无定义 B. 不存在)(f0 )(lim0xf
9、C. D.左，右极限不相等)(lim0fx3、设 ，其中 在 处连续但不可导，则 （ xa)(xa)(af）A. 不存在 B. C. D. )( )()(4、当 很小时，下列近似公式正确的是 （ ）xA. B. C. D. exlnxn1xsin5、若 和 对于区间（ ）内每一点都有 ，在（ ）)(xfgba, )(gfba,内有 （ ）A. B.)(f 为 常 数 ）（ 2121 ,c)(,)(xcf D. （c 为任意常数） D. （c 为任意常数）)(xgfxgf)(三 证明题：1 证明 ;921limnnL2 证明不等式： ；hhparct3 对任意实数 有 ；b, )(21bee4
10、证明：方程 （ 为常数）在 内不可能有两个不同的实根；03cx1,05 设函数 在点 存在左，右导数，试证 在 连续；)(f )(xf06 证明：若极限 存在，则它只有一个极限；0limx四 计算题：1 写出 的其拉格朗日型余项的马克劳林公式；fsin)(2 求下列极限： ；)1021(linnnL ；xxarctm0 ；1linx3 求 的微分；)si(baey4 设函数 的参量方程 （ ）所确定，求 .)(xtbyaxsincopt0dxy（四）一年级数学分析考试题 一 叙述题：1 用 语言叙述 （ 为定数）Axfx)(lim02 叙述 Rolle 中值定理，并举出下列例子：1） 第一个条
11、件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子；2） 第二个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子；3） 第三个条件不成立，结论成立的例子；二、计算题：1 求极限 ；)12(limnn2 求极限 ；xn)13 求 的带 Peano 型余项的 Maclaurin 公式；l()xf4 求 ；nsitali0三、研究函数在 处的左，右极限和极限；)(xf0 x1 2pfx x四、研究函数求数集 的上、下确界，并依定义加以验证；2s五、证明题：1 用定义证明： ；35lim2xn2 证明： ( )()(gogo0x3 设 定义在区间上，若存在常数 L， , ,有xf )(xxff证明： 在上一致连续；)(x4 设函数 在点 的某个邻域内具有连续的二阶导数，证明fa.)(2)()(lim0 afhffh （五）一年级数学分析考试题 一 判断题：（满分 10 分，每小题 2 分）1、若 ，则 ； （ ）0limnana1li2、有限开区间（ ）内一致连续的函数 必在开区间内有界；b, )(xf（ ）3、设函数 在点 的某领域内有定义，若存在数 ，使)(xfy0XA， （ ） ，则 在点 可导且)(0 xoAxfy0)(xf0X ； （ ）)(0xfA
