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1、12015 年考研数学一真题一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分设函数 在 上连续，其二阶导数 的图形如右()fx,)()fx图所示，则曲线 在 的拐点个数为y(,（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点 但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的0x两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C）2设 是二阶常系数非齐次线性微分方程 的一个特解，则 213()xxyee xyabce（A）
2、 （B）1,abc321,abc（C） （D ）2【详解】线性微分方程的特征方程为 ，由特解可知 一定是特征方程的一个实根如20r12r果 不是特征方程的实根，则对应于 的特解的形式应该为 ，其中 应该是一21r()xfce()xQe()个零次多项式，即常数，与条件不符，所以 也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得21r，同时 是原来方程的一个解，代入可得 应该选（A）321(),ab*xye 1c若级数 条件收敛，则 依次为级数 的1na3,x1()nnax（）收敛点，收敛点 （）收敛点，发散点(）发散点，收敛点 （）发散点，发散点【详解】注意条件级数 条件收敛等价于幂级数 在 处条
3、件收敛，也就是这个幂级数的1na 1nax收敛为 ，即 ，所以 的收敛半径 ，绝对收敛域为1limn1()nnx1lim()nnaR，显然 依次为收敛点、发散点，应该选（B）02(,)3,x设 D 是第一象限中由曲线 与直24,xy2线 所围成的平面区域，函数 在 D 上连续，则 （ ） 3,yx(,)fxy(,)Dfxyd（） （） 1324sin(cos,indfrrd 1234sincos,inrr（） （） 1324sin(,i)f 1234sin(,i)dfd【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程： 221121 2sicosinsinxyrrr224inii也就是 D： 3112
4、sinsir所以 ，所以应该选（B） (,)Dfxyd1234sin(cos,in)frrd5设矩阵 ，若集合 ，则线性方程组 有无穷多解的充分必221,Aabd12,Axb要条件是（A） （B）,d,ad（C） （D）a【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换： 222111110043 22(,) ()()BAbdadada 方程组无穷解的充分必要条件是 ，也就是 同时成(),)rAb110(),立，当然应该选（D） 6设二次型 在正交变换 下的标准形为 ，其中 ，若123(,)fxxPy2213y123,Pe，则 在 下的标准形为13,Qe123(,)fQ（A） （B ）23y213
5、y3（C） （D ） 2213y2213y【详解】 ，132123001,QeeP01TTQP1TTTfxAyPy所以1000210211TTQA故选择（A） 7若 为任意两个随机事件，则（ ）,B（A） （B） ()()PA()()PAB（C） （D ）2P2P【详解】 所以 故选择（C） (),(),PABA()(PB8设随机变量 不相关，且 ，则 （ ）,XY213,EXY2()EXY（A） （B） （C） （D）3355【详解】 2 25()()()()E EX故应该选择（D） 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9 20ln(cos)
6、imx【详解】 20012l()tanilixx10 21sincod【详解】只要注意 为奇函数，在对称区间上积分为零，isx4所以22 2014sin.coxdx 11若函数 是由方程 确定，则 (,)zycoszeyx01(,)|dz【详解】设 ，则2,zFxx1(,)sin,(,),(,)zx yzyz Fyexy 且当 时， ，所以0,0z01 010(,) (,)(,)| | ,(,)yxz zFz 也就得到 01(,)|dz.x12设 是由平面 和三个坐标面围成的空间区域，则1yz23()xyz【详解】注意在积分区域内，三个变量 具有轮换对称性，也就是,xyzddzdxyz1120
7、01236634()dxyzz()zDx13 阶行列式 n021012LMOL【详解】按照第一行展开，得 ，有111 122()nn nDD12()nnD由于 ，得 126,D(14设二维随机变量 服从正态分布 ，则 (,)XY0(,;)N0PXY【详解】由于相关系数等于零，所以 X，Y 都服从正态分布， ，且相互独立11(,)(,)N则 10(,)XN110101022(), ,PYPPPYX三、解答题15 （本题满分 10 分）设函数 ， 在 时为等价无穷小，()ln()sifxaxb3()gxk5求常数 的取值,abk【详解】当 时，把函数 展开到三阶的马克劳林公式，得0x1()ln()
8、sifxaxb2332361()()()faoboxx由于当 时， 是等价无穷小，则有 ，0x(),fxg1023abk解得， 123,.abk16 （本题满分 10 分）设函数 在定义域 上的导数大于零，若对任意的 ，曲线 在点 处)(xfyI 0xI)(xfy0,()fx的切线与直线 及 轴所围成区域的面积恒为 4，且 ，求 的表达式0 2()f【详解】 在点 处的切线方程为)(fy0,()fx000)(yf令 ，得000()xf曲线 在点 处的切线与直线 及 轴所围成区域的面积为)(fy,x0x000142()()fSf整理，得 ，解方程，得 ，由于 ，得218y8Cxy2()f1C所求
9、曲线方程为 4.x17 （本题满分 10 分）设函数 ，曲线 ，求 在曲线 上的最大方向导数(,)fxyy23:Cxy(,)fxyC6【详解】显然 1,ffyxx在 处的梯度(,)fy(,) 1,fgradyxx在 处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模,x,221()()gradfyx所以此题转化为求函数 在条件 下的条件极值用拉格221,()()Fyy23:Cxy朗日乘子法求解如下：令 22213(,)()()()Lxyxx解方程组 ，得几个可能的极值点 ，203()y yFx 121,(,),(,)进行比较，可得，在点 或 处，方向导数取到最大，为21,y2,xy93.18
10、 （本题满分 10 分）（1）设函数 都可导，利用导数定义证明 ；(),uxv()()()uxvxvux （2）设函数 都可导， ，写出 的求导公式12,()nuxL12nfLf【详解】 （1）证明：设 vy)()()(xuxvuy()()x vxuv)( xuxvuy)(由导数的定义和可导与连续的关系 00limli()()()xxyuvxuxvx（2） 12()nfL7121212()()()()()()nn nfxuxuxxuxux LLL19 （本题满分 10 分）已知曲线 L 的方程为 ，起点为 ，终点为 ，计算曲线积分2zyx0(,)A0(,)B22()()()Lyzdxddz【详
11、解】曲线 L 的参数方程为cosin,tyzt起点 对应 ，终点为 对应 02(,)At02(,)B2t22 22)(sinco(scos)(s)(cos)Lyzdxydxydztttttd 20i.td20 （本题满分 11 分）设向量组 为向量空间 的一组基， 123,3R1323321,()kk（1）证明：向量组 为向量空间 的一组基；123,3（2）当 为何值时，存在非零向量 ，使得 在基 和基 下的坐标相同，并求出所有k123,123,的非零向量 .【详解】 （1） ，12312301(,),k因为 ，且 显然线性无关，所以 是线性无关的，2040211kk123,123,当然是向量
12、空间 的一组基3R（2）设非零向量 在两组基下的坐标都是 ，则由条件123(,)x12123x可整理得： ，所以条件转化为线性方程组132330()()xkxk8存在非零解132130,kx从而系数行列式应该等于零，也就是 123123010(,)(,kk由于 显然线性无关，所以 ，也就是 123,020k此时方程组化为 ，11223123,()xx由于 线性无关，所以 ，通解为 ，其中 为任意常数12,120x1230Cx所以满足条件的 其中 为任意不为零的常数0C21 （本题满分 11 分）设矩阵 相似于矩阵 231Aa1203Bb（1）求 的值；,ab（2）求可逆矩阵 ，使 为对角矩阵P
13、1A【详解】 （1）因为两个矩阵相似，所以有 ， trBA也就是 3245aba（2）由 ，得 A，B 的特征值都为21001503()EB1235,解方程组 ，得矩阵 A 的属于特征值 的线性无关的特征向量为0()x129；12301.解方程组 得矩阵 A 的属于特征值 的线性无关的特征向量为5()Ex3531令 ，则12310,P105.P22 （本题满分 11 分）设随机变量 X 的概率密度为 20ln,()xf对 X 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 为次数Y求 的分布函数；Y（1） 求 的概率分布；（2） 求数学期望 .EY【详解】 （1）X 进行独立重复的观测，得到观测值大于 3 的概率为3128()lnxPd显然 Y 的可能取值为 4,L且22171734868() (),kkkP
