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1、连续时间信号与系统的S域分析,连续时间信号的复频域分析 连续时间系统的复频域分析 连续时间系统函数与系统特性 连续时间系统的模拟,连续时间信号的复频域分析,从傅立叶变换到拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换及其存在的条件 常用信号的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯变换反变换,一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换,f (t) = eat u(t) a 0的傅里叶变换？,将 f(t) 乘以衰减因子e -t,不存在!,若 ,一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换,推广到一般情况,令s= +j,定义：,对 f(t)e-t求傅里叶反变换可推出,拉普拉斯正变换,拉普拉斯反变换,一、从
2、傅里叶变换到拉普拉斯变换,拉普拉斯变换符号表示及物理含义,符号表示：,物理意义：,信号f(t)可分解成复指数est的线性组合,F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。,s是复数称为复频率，F(s)称复频谱。,二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件,关于积分下限的说明：,积分下限定义为零的左极限，目的在于分析 和计算时可以直接利用起始给定的0-状态,将函数包含在内,单边拉普拉斯变换,二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件,单边拉普拉斯变换存在的条件,对任意信号f(t) ，若满足上式，则 f(t)应满足,(0),充要条件为：,二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件,单边拉普拉斯变换存在的条件,0称收
3、敛条件,0称绝对收敛坐标,S平面,右半平面,左半平面,收敛域为某个右半开平面,即,例1 计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域。,分析：求收敛域即找出满足,的取值范围。,不存在,收敛域为全S平面,有限长度的信号，其Laplace变换的Roc为：-,三、常用信号的拉普拉斯变换,1.指数型函数,同理：,三、常用信号的拉普拉斯变换,1. 指数型函数 e t u(t),正弦信号,三、常用信号的拉普拉斯变换,2.阶跃函数u(t),三、常用信号的拉普拉斯变换,3.,三、常用信号的拉普拉斯变换,4.t的正幂函数tn，n为正整数,根据以上推理,可得,常用信号的单边拉氏变换,常用信号的单边拉氏变换,常用信号的单边拉氏
4、变换,常用信号的单边拉氏变换,四、拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系,1）当收敛域包含j 轴时，拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在。,2）当收敛域不包含j 轴时，拉普拉斯变换存在而傅里叶变换均不存在。,3）当收敛域的收敛边界位于j 轴时，拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在。,部分分式展开，对象是真分式；若F(s)不是真分式，则先将F(s)分解为1个多项式+1个真分式。,不是真分式,多项式的一般形式,讲部分分式展开时，不妨假设F(s)是不是真分式。,不要死记公式，关键看Kj的位置、极点的阶数,所有1阶极点按1阶极点的方法进行；所有高阶极点按高阶极点的方法进行。,例2 计算下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换。
5、,解： 时域信号 傅里叶变换拉普拉斯变换,不存在,例3 由 F(s) 求 F( j ),解：,1) 收敛域-4包含j轴,2) 收敛域的收敛边界位于j轴,五、拉普拉斯变换的性质,1.线性特性,若,则,收敛域可能变大！例如u(t)-u(t-1),五、拉普拉斯变换的性质,2.展缩特性,若,则,五、拉普拉斯变换的性质,3.时移特性,若,则,五、拉普拉斯变换的性质,4.卷积特性,收敛域可能更大！,五、拉普拉斯变换的性质,5.乘积特性,五、拉普拉斯变换的性质,5. 乘积特性,乘积性质两种特殊情况：,1）指数加权性质,若,则,S域平移,2）线性加权性质,S域微分,五、拉普拉斯变换的性质,6.微分特性,证明：,6. 微分特性,重复应用微分性质，求得：,若 f(t) = 0, t 0,解：,因为,所以,Re(s) 0,例4 试求如图所示周期信号的单边Laplace变换。,例5 试求如图所示信号的单边Laplace变换。,解：,法1),例5 试求如图所示信号的单边Laplace变换。,解：,法2),法3),
