《第2章 有限元分析过程概要》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2章 有限元分析过程概要（60页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,有限元分析基础,Fundamentals of Finite Element Analysis,2,有限元分析过程的概要,本章先通过一个简单的实例，采用直接的推导方法，逐步展示有限元分析的基本流程，从中可以了解有限元方法的思路形成过程，以及如何由具体的求解步骤归纳出一种通用的标准求解方法。,第二章,3,2.1 有限元分析的目的和概念,任何具有一定使用功能的构件(称为变形体(deformed body)都是由满足要求的材料所制造的，在设计阶段，就需要对该构件在可能的外力作用下的内部状态进行分析，以便核对所使用材料是否安全可靠，以避免造成重大安全事故。描述可承力构件的力学信息一般有三类： (1
2、) 构件中因承载在任意位置上所引起的移动(称为位移(displacement)； (2) 构件中因承载在任意位置上所引起的变形状态(称为应变(strain)； (3) 构件中因承载在任意位置上所引起的受力状态(称为应力(stress)；,4,2.1 有限元分析的目的和概念,若该构件为简单形状，且外力分布也比较单一，如：杆、梁、柱、板就可以采用材料力学的方法，一般都可以给出解析公式，应用比较方便；但对于几何形状较为复杂的构件却很难得到准确的结果，甚至根本得不到结果。有限元分析的目的 就是针对具有任意复杂几何形状变形体，完整获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息，即求取该变形体的三类力学信息(位
3、移、应变、应力)。,5,2.1 有限元分析的目的和概念,大型液压机机架的设计过程,6,2.1 有限元分析的目的和概念,有限元分析模型与得到的变形状况,7,2.1 有限元分析的目的和概念,为什么采用有限元方法就可以针对具有任意复杂几何形状的结构进行分析，并能够得到准确的结果呢？这时因为有限元方法是基于“离散逼近(discretized approximation)”的基本策略，可以采用较多数量的简单函数的组合来“近似”代替非常复杂的原函数。,8,2.1 有限元分析的目的和概念,一个复杂的函数，可以通过一系列的基底函数(base function)的组合来“近似”，也就是函数逼近，其中有两种典型的
4、方法： (1)基于全域的展开(如采用傅立叶级数展开)， (2)基于子域(sub-domain)的分段函数(pieces function)组合(如采用分段线性函数的连接) 。,9,【典型例题】2.1(1),一个一维函数的两种展开方式的比较 设有一个一维函数，分析它的展开与逼近形式解答：首先考虑基于全域的展开形式，如采用傅立叶级数(Fourier series)展开，则有,(2-1),10,【典型例题】2.1(1),第二种是基于子域 上的分段展开形式，若采用线性函数,有这两种函数展开的方式如图2-2所示。,(2-2),11,【典型例题】2.1(1),基于全域的函数展开与逼近,12,【典型例题】2
5、.1(1),基于子域的函数展开与逼近,13,【典型例题】2.1(1),对于第一种的函数逼近方式，就是力学分析中的经典瑞利-里兹方法(Rayleigh-Ritz principle)的思想，而针对第二种的函数逼近方式，就是现代力学分析中的有限元方法的思想，其中的分段就是“单元”的概念。基于分段的函数描述具有非常明显的优势：(1)可以将原函数的复杂性“化繁为简”，使得描述和求解成为可能，(2)所采用的简单函数可以人工选取，因此，可取最简单的线性函数，或取从低阶到高阶的多项式函数，(3)可以将原始的微分求解变为线性代数方程。但分段的做法可能会带来的问题有：(1)因采用了“化繁为简”，所采用简单函数的
6、描述的能力和效率都较低，(2)由于简单函数的描述能力较低，必然使用数量众多的分段来进行弥补，因此带来较多的工作量。,14,【典型例题】2.1(1),综合分段函数描述的优势和问题，只要采用功能完善的软件以及能够进行高速处理的计算机，就可以完全发挥“化繁为简”策略的优势，有限元分析的概念就在于此。,15,2.2 一维阶梯杆结构问题的求解,【典型例题】2.2(1),16,【典型例题】2.2(1),1D阶梯杆结构问题的材料力学求解,17,【典型例题】2.2(1),由杆件的平衡关系可知,18,【典型例题】2.2(1),由于材料是弹性的，由虎克定律(Hooke law)有,19,【典型例题】2.2(1),
7、20,【典型例题】2.2(1),21,【典型例题】2.2(1),讨论：以上完全按照材料力学的方法，将对象进行分解来获得问题的解答，它所求解的基本力学变量是力（或应力），由于以上问题非常简单，而且是静定问题，所以可以直接求出，但对于静不定问题，则需要变形协调方程(compatibility equation)，才能求解出应力变量，在构建问题的变形协调方程时，则需要一定的技巧；若采用位移作为首先求解的基本变量，则可以使问题的求解变得更规范一些。下面就基于A、B、C三个点的位移来进行以上问题的求解。,22,【典型例题】2.2(2),1D阶梯杆结构的节点位移求解及平衡关系 分别画出每个节点的分离受力图
8、,23,【典型例题】2.2(2),杆,杆,24,【典型例题】2.2(2),节点A,节点B,节点C,25,【典型例题】2.2(2),将节点A、B、C的平衡关系写成一个方程组,26,【典型例题】2.2(2),改写成矩阵形式,27,【典型例题】2.2(2),将材料弹性模量和结构尺寸代入(2-23)方程中,28,【典型例题】2.2(2),这样得到的结果与【典型例题】2.2(1)所得到的结果完全一致。,29,讨论：,还可以将式(2-23)写成外力矩阵,30,讨论：,内力矩阵,31,讨论：,由方程(2-23)可知，这是一个基于节点A、B、C描述的全结构的平衡方程，该方程的特点为：(a)基本的力学参量为节点
9、位移和节点力。 (b)直接给出全结构的平衡方程，而不是象【典型例题】2.2(1)那样，需要针对每一个杆件去进行递推。 (c)在获得节点位移变量后，其它力学参量（如应变和应力），都可以分别求出。,32,【典型例题】2.2(3),1D阶梯杆结构基于位移求解的通用形式 为了将方程(2-23)写成更规范、更通用的形式，用来求解【典型例题】2.2(1)所示结构的更一般的受力状况，下面在式(2-23)的基础上，直接推导出通用平衡方程。,33,【典型例题】2.2(3),将式(2-23)写成,34,【典型例题】2.2(3),再将其分解为两个杆件之和，即写成,(2-31),35,【典型例题】2.2(3),上式左
10、端的第1项实质为 杆件中的左节点的内力和右节点的内力,(2-32),36,【典型例题】2.2(3),上式左端的第2项实质为杆件中的左节点的内力和右节点的内力,(2-33),37,【典型例题】2.2(3),可以看出：方程(2-31)的左端就是杆件的内力表达和杆件的内力表达之和，这样就将原来的基于节点的平衡关系，变为通过每一个杆件的平衡关系来进行叠加。这里就自然引入单元的概念，即将原整体结构进行“分段”，以划分出较小的“构件” ，每一个“构件”上具有节点，还可以基于节点位移写出该“构件”的内力表达关系，这样的“构件”就叫做单元(element)，它意味着在几何形状上、节点描述上都有一定普遍性和标准
11、性只要根据实际情况将单元表达式中的参数（如材料常数、几何参数）作相应的代换，它就可以广泛应用于这一类构件(单元)的描述。,38,【典型例题】2.2(3),从式(2-32)和式(2-33)可以看出，虽然它们分别用来描述杆件和杆件的，但它们的表达形式完全相同，因此本质上是一样。实际上，它们都是杆单元(bar element)。可以将杆单元表达为如图2-7所示的标准形式。,39,【典型例题】2.2(3),将单元节点位移写成 将单元节点外力写成,40,【典型例题】2.2(3),该单元节点内力为 它将与单元的节点外力相平衡,41,【典型例题】2.2(3),进一步表达为,单元内力与外力的平衡方程(equi
12、librium equation)，,单元的刚度矩阵(stiffness matrix),刚度矩阵中的刚度系数(stiffness coefficient),42,2.3有限元分析的基本流程,1D三连杆结构的有限元分析过程,43,2.3有限元分析的基本流程,(1)节点编号和单元划分 (2)计算各单元的单元刚度方程,44,2.3有限元分析的基本流程,单元的刚度方程为,45,2.3有限元分析的基本流程,单元的刚度方程为,46,2.3有限元分析的基本流程,单元的刚度方程为,47,2.3有限元分析的基本流程,(3)组装各单元刚度方程 由于整体结构是由各个单元按一定连接关系组合而成的，因此，需要按照节点
13、的对应位置将以上方程（2-40）、（2-41）、（2-42）进行组装，以形成一个整体刚度方程，即,48,2.3有限元分析的基本流程,49,2.3有限元分析的基本流程,50,2.3有限元分析的基本流程,(4)处理边界条件并求解,51,2.3有限元分析的基本流程,求解上述方程，有 (5)求支反力 由方程组（2-46）的最后一行方程,52,2.3有限元分析的基本流程,(6)求各个单元的其它力学量（应变、应力）,53,2.3有限元分析的基本流程,54,2.3有限元分析的基本流程,有限元分析的基本流程图示,55,2.4有限元分析的特点,有限元分析的最大特点就是标准化和规范化，这种特点使得大规模分析和计算
14、成为可能，当采用了现代化的计算机以及所编制的软件作为实现平台时，则复杂工程问题的大规模分析就变为了现实。 实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元，这就需要我们构建起各种各样的具有代表性的单元，一旦有了这些单元，就好像建筑施工中有了一些标准的预制构件(如梁、楼板等)，可以按设计要求搭建出各种各样的复杂结构，如图2-11所示。,56,2.4有限元分析的特点,57,2.4有限元分析的特点,有限元分析中常用的一些典型单元,58,2.4有限元分析的特点,有限元方法的主要任务就是对常用的各种单元（包括1D、2D、3D问题的单元）构造出相应的单元刚度矩阵当然，如果还采用如【典型例题】2.2(2)所示的直接法来进行构造，会非常烦琐而采用能量原理（如：虚功原理或最小势能原理）来建立相应的平衡关系则比较简单，这种方法可以针对任何类型的单元进行构建，以得到相应的刚度矩阵。,59,2.5 本章要点,函数的全域逼近与子域分段逼近的概念 将对象离散为一些标准的单元 将单元的节点位移作为基本力学变量 建立单元的节点的平衡关系 单元刚度矩阵以及直接求取的方法 有限元分析的标准流程(离散化、单元描述、整体组装、问题求解),60,结 束,
