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1、- 1 -数学建模课程论文【摘要】：本文主要针对依据市场随机信息求解报摊每天的最优订购量问题给出了 2 个数学模型。模型 A 主要采用增量分析法，通过对每多订购一份报纸所需的成本或损失与不多订购一份报纸所需的成本或损失进行对比来确定最优订购量。模型 B 主要采用概率分布方法，列出报摊每天的平均收入即目标函数，将需求量视为连续随机变量求解出使目标函数取得最大值时的最优解。问题二、三是在问题一的基础上求解，适当改变问题一中的成本数值便可求出问题三中的最优解。对模型 A 和模型 B 的求解方法均比较简单，主要通过查阅标准正态分布表并加上一些简单的数学计算求解出最佳订购量。关键词：最优 增量分析 概率
2、分布 查表 一、 问题重述一个很受欢迎的报摊想决定一下它一天应购入多少份当地的报纸，该报纸的需求量 DN(450, ),这种报纸的购入价为每份 35 美分，而售出价为每210份 50 美分，这个报摊从过剩的的报纸上得不到任何价值，因而接受其 100%的损失。试求：（1）：每天应购入多少份报纸？（2）：这个报摊出现断货的概率为多少？（3）：该报摊的管理人员考虑到如果断货情况将会影响报摊的信誉，顾客通常来到报摊后还会想要买其他物品，而经常性的断货会令顾客跑到其他的报摊去，该管理人员认为每次断货的信誉成本为 50 美分，试确定此时订购量以多少为宜？断货出现的概率为多少？二、模型的假设假设该报摊报纸的
3、需求量完全服从 DN(450, ),已经包含所有主客观210因素，对问题（1）不考虑由于缺货导致的信誉损失。问题(3)中考虑信誉损失时只考虑由于断货造成的信誉损失而不考虑由于老板有事外出歇业等客观因素造成的信誉损失。三、 符号说明Cu高估市场需求导致的成本低估市场需求导致的成本C 断货时的信誉成本由于缺货导致的总成本A 发生缺货D 需求量Q 报摊实际订购量Q* 不考虑信誉成本时的最佳订购- 2 -量* Q考虑信誉成本时的最佳订购量a报纸的购入价b报纸的售出价考虑信誉成本时的等效售出价Y 报摊每天的收入G(Q) 报摊每天的平均收入四、模型的建立与求解问题一的求解：模型 A：市场需求为随机的库存模
4、型，采用增量法来确定最优订购量。定义如下两种成本：（1）：高估市场需求量导致的成本 ,它表示每多订一份报纸并发现它0C不能卖出时的损失；（2）：低估市场需求导致的成本 ，它表示每少订一份报纸并发现它能u卖出去时造成的机会损失，即把本来可以赚到的钱而没有赚到看成是一种损失。本题中易确定 ；0C35a美 分 C15uba美 分由于 DN(450, )， .因而在一般情况下，零售商希望优先考21E(D=40虑平均的或期望值下的市场需求量做为订购量，即 Q=450 份。根据上诉增量分析原理中的成本比较，将 Q=450（不多买一份）与 Q=451（多订购一份）相应的成本比较列表如下：订购数量若以下事实发
5、生则损失发生可能的损失 损失发生的概率Q=451 高估需求时新增的产品无法买完 =35 美分0CPD450Q=450 低估需求时超额需求无法满足 =15 美分u于是易得 Q=451 与 Q=450 时的期望损失 EL 分别为：0ELQ=451CPD45=30.175(美 分 ）u（ 美 分 ）这表明，随着 Q 的增加，相应的 EL 会增大，可以采用不断减 1 的分析，- 3 -比如 Q=449,Q=448,直到找到一个 值，使得每多顶一份报纸的期望损失与*Q不增加时的期望损失相等，即 .*EL+1=而,*0ELQ+1=CPDu由于 *1P所以 *0-PDQuC解得 *0DQ=+u将 =35 美
6、分； =15 美分代入上式可得0*P.3再由 DN(450, ),，可得 即 查表得210*Q-450=.31*450Q=.71,解得 。*450Q=.1*4即该报摊依据其市场需求信息每天订购 400 份当地的报纸为宜。模型 B:采用概率分布方法建模。报纸每天的需求量 DN(450, ),即21024501PD=xxef不考虑信誉损失的情况下，报摊每天收入 ,Q,().bXaYg每天的平均收入（目标函数）。0 1()()()Qx XQGbafbaf通常 的取值及 Q 都相当大，将 视作连续随机变量便于计算。此时可X- 4 -设 的密度函数为 。则X(X)P0()()QQGEgbaPXdbaPX
7、d从而 0()()()()(QQdQbaP0QXdbaPXd令 ，得*()dGQ*0()QPXdba即 ，又由 DN(450, )得*0()QbaPXd 2104504511ba将 b=50 美分， a=35 美分带入上式，求得 *40Q份上述方程的解 就是 的最优值。*Q问题二的求解：当该报摊的订购量 时，其缺货的概率*=40*PA=DQ1-P7%问题三的求解：模型 A 根据题意，断货产生的信誉成本 C=50 美分。则由于断货产生的总成本 =15 美分 +50 美分=65 美分。C=+u则根据问题一的求解模型可得 * uCP(DQ)=0.65+即 ，查表得到 =0.4，解得 =490 份*
8、Q* -501* - 5 -此时 * * PA=DQ1-P=0.35即此时报摊的订购量以 490 份为宜，断货出现的概率为 35%。模型 B 此时每少订购一份报纸而发现它可以卖出去的损失为 65 美分，相当于售出价 =100 美分，而其他条件不变，则根据问题一得求解b又由 DN(450, )得* 0()QaPXd 210，求解得 =490 份。 * 45045011ba*Q此时 * * PA=DQ-P=.35即此时报摊的订购量以 490 份为宜，断货出现的概率为 35%。五、模型的分析比较这两个模型都很好的解决了如何依据市场随机需求信息求解单时段，订单的最优订购量问题，这种随机市场需求的单时段库存模型在现实生活中比比皆是。模型思路清晰且求解简单，非常实用。六、模型的改进与推广本题中由于当天卖不出去的报纸对管理员没有丝毫用处所以没有考虑库存费用，若是其他的商品，如衣物、游泳衣等可以存放的物品，则还需要考虑其库存费用。参考文献【1】 熊德之 张志军， 概率论与数理统计及其应用第五章 北京：科学出版社，2005
