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1、1武汉理工大学 考试试题纸 （A 卷） （闭卷）课程名称 概率统计 专业班级 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分题分备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)1填空题（15 分）（1）设随机事件 , 互不相容，且 ， ，则 AB3.0)(AP6.0)(B)(ABP（2）设随机变量 服从（-2，）上的均匀分布，则随机变量 的X 2XY概率密度函数为 .)(yfY（3）设随机变量 和 的期望分别为 和 2，方差分别为 1 和 4， ，0.5XY由切比雪夫不等式， (6)_PX（4）设某种清漆干燥时间 （单位：小时） ，取容量为 n 的样本,其,2N样本均值和方差分别
2、为 ，则 的置信度为 1- 的单侧置信上限为：.S（5）设 为取自总体 的样本，参数 均未知，),(21nXL),(2X2,， ，则对于假设 作 检验时，使用niiX121(Zii 00：Ht的检验统计量 （用 与 等表示）. T XZ2 （10 分）设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中 1/2 是第一家工厂生产的，其余两家各生产 1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有 2%、4% 、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。3. （10 分）设随机变量 的概率分布为 ，以 表示对 的三次独立重复观察中事件X
3、fxAx()， 其 它01YX出现的次数，试确定常数 ，并求概率 。X12APY224. （15 分）设二维随机变量（ ， ）的概率分布为XY其 它,0),(yxeyxfy求：（1）随机变量 X 的密度函数 ；（2）概率 。)(fX 1YXP5. （10 分）已知随机变量 、 分别服从正态分布 和 ，且 与 的相关系数Y)3,0(2N)4,(2XY，设 ，求：（1）数学期望 ，方差 ；（2） 与 的相关系数 。XY2/Z/3EZDZXZ6. （10 分）证明：（马尔科夫定理）如果随机变量序列 ，满足L,21nX0)(lim12nkn则对任给 ，有0.1)(1li 1nknkn XEP7. （1
4、5 分）设 ， 是取自总体的简单随机样本， 为样本均值， 为样本二阶),(2NXnX,21L 2nS中心矩， 为样本方差，问下列统计量：（1） ，（2） ，（3） 各服从什么分2SnS1/nX21)(niiX布？8 （15 分）设总体 服从区间0， 上的均匀分布， 0 未知， 是来自 的样本,（1）求X12,nK的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（ 3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？3答案 1 （15 分） （1）4/7；（ 2） ;（3） (4)上限为104()4Yyf其 他 12; ()SXtn（5） )1(Z2 （10 分
5、）解：设事件 表示：“取到的产品是次品”；事件 表示：“取到的产品是第AiA家工厂生产的 ”（ ） 。 则 ，且 ，ii23， ， 123UPAi()0两两互不相容，A123、 、（1） 由全概率公式得 31)|()(i iiPP4050412（2）由贝叶斯公式得 = PA(|)1311)|()j jjAP134023. （10 分）解：由归一性 2)(10xdf所以 =2。即 A 其 它， ，01)(xf42)()21(1dxfFXP所以 ，从而 =)413(，BY YP693)(C4. （15 分）解：（1） 时， =0； 时， =x0fxX()x0fxX()fxydeyx(,)故随机变量
6、 的密度函数 = XfxX()exx，0（2） PY1fydedyxXY(,)1021 e11245. （10 分）解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得EZ 12031)2(3)2( YEXYDDXY()Cov，DYXY21321332413)(4（2） CovovCovov()( ,)(,)XZXYXY， ，1320DD从而有 与 的相关系数 XZXZov(,)6. （10 分）证明： ，由切贝雪)(1)(),1)( 211 nknknkknk XEE夫不等式，得，2111)()(limnDXEnPnkknkn 根据题设条件，当 时, ，)(li 11nkkn但概率小于等于 1
7、，故马尔科夫定理成立.7. （15 分）解：（1）由于 ，又有)()(22nS122 1)(nXnSii，因此 ；22)(n)(2S（2）由于 ，又有 ，因此)1(/ntSX1nS5；)1(/ntSXn（3）由 得： ，由 分),21)(,iNXi L ),21)(,0niNi L2布的定义得： .)()(221nnii8 （15 分）解：（1） ，令 ，得 的矩估计量 ；EX212X似然函数为： 1212,0,(,;)nnnxLxKK， 其 它其为 的单调递减函数，因此 的极大似然估计为 。212()ma,nXX（2） 因为 ，所以 为 的无偏估计量。12EX1又因为 的概率密度函数为：()n1() ,0nnxxf 其 它所以1()0nnxEXd因此 为 的有偏估计量，而 为 的无偏估计量。23()nX（3） ，221/143D23()21202211()()3nnXxdDn 于是 比 更有效。3()1nX1
