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1、实验六 特征值与特征向量一实验目的1.掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；2.掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；3.理解由差分方程 xk+1 = Axk 所描述的动力系统的长期行为或演化；4.提高对离散动力系统的理解与分析能力二问题描述1.当捕食者-被捕食者问题中的捕食参数 p 是 0.125 时，是确定该动态系统的演化（给出 Xk 的计算公式） 。猫头鹰和森林树的数量随着时间如何变化?该系统去向一种被称为不稳定平衡的状态。如果该系统的某个方面（例如出生率或者捕食率）有轻微变动，系统会如何变化？2.在美国的黄杉森林中，班头猫头鹰主要以鼹鼠为食。假设这两个种群的捕食率-被捕
2、食率矩阵为 A=0.4 0.3;-p 1.2（1） 证明：如果捕食参数 p=0.325，则两个种群都会增长。估计长期的增长率及猫头鹰与鼹鼠的最终比值。（2） 证明：如果捕食率 p=0.5，则猫头鹰和鼹鼠都将灭绝。（3）试求一个 P 值，使得猫头鹰和鼹鼠的数量趋于稳定。此时，对应的种群数量是多少？三问题分析最简单的捕食者-被捕食者模型可描述为：uk+1 =auk+bvkvk+1=-cuk+dvk其中，uk 和 vk 分别指捕食者和被捕食者在 k 时刻（如第 k 个月）的数量。a、b 、c 、d 为正数。记 xk+1=axk,其中 A=a b;-p c.据此可求出 A 的特征值和对应的特征向量。再
3、根据不同特征值的个数、绝对值大于 1 还是小于 1、是史特恒指还是负数特征值等情形，分析出系统的演化过程。四实验过程问题一：第一步：求 A 的特征值和对应的特征向量。利用如下的代码即可获得：A = 0.5 0.4-0.125 1.1;pc,lambda = eig(A); %求 A 的特征值和对应的特征向量Y,I = sort(diag(abs(lambda),descend);%对特征值的绝对值降序排列temp = diag(lambda);lambda = temp(I) %输出按特征值的绝对值降序排列的特征值pc = pc(:,I) %与特征值对应的特征向量运行程序可得 A 的特征值为l
4、ambda =1.00000.6000A 的特征向量pc =-0.6247 -0.9701-0.7809 -0.2425将小数乘以相应倍数变成整数 V1=4 5, V2=4 1 P=4 4;5 1; P1AP=1.00 0;0 0.60;因为当 k 趋近于无穷大时，0.6k 趋近于 0.所以取 1.可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当。系统趋向于不稳定平衡的状态。当出生率下降或者捕食率增大，或者相反的情况，该平衡状态就会被打破。直到重新平衡或者系统完全崩溃。问题二：A=0.4 0.3;-P 1.2;(1)当 P=0.325 时，类似问题一的结决方案，可求出 A 的特征向量与特征值如下：A =
5、0.4 0.3;-0.325 1.2;pc,lambda = eig(A); %求 A 的特征值和对应的特征向量Y,I = sort(diag(abs(lambda),descend);%对特征值的绝对值降序排列temp = diag(lambda);lambda = temp(I) %输出按特征值的绝对值降序排列的特征值pc = pc(:,I) %与特征值对应的特征向量运行程序可得 A 的特征值为lambda =1.05000.5500A 的特征向量pc = -0.4191 -0.8944-0.9080 -0.4472将小数乘以相应倍数变成整数V1=5 11, V2=2 1 P=5 2;11
6、 1; P1AP=1.05 0;0 0.55;由此可知，当 k 趋近于无穷大时，0.55k 趋近于 0.所以 A 的特征值取 1.05.即猫头鹰和老鼠的数量几乎每个月都近似增加到原来的1.05 倍，即有 5%的增长率.所以 xk 约为（5 11） ，即每 5 只猫头鹰对应着 6500 只老鼠。最终比值为 1300.（2）当 P=0.5 时，类似问题一的结决方案，可求出 A 的特征向量与特征值如下：A = 0.4 0.3;-0.5 1.2;pc,lambda = eig(A); %求 A 的特征值和对应的特征向量Y,I = sort(diag(abs(lambda),descend);%对特征值
7、的绝对值降序排列temp = diag(lambda);lambda = temp(I) %输出按特征值的绝对值降序排列的特征值pc = pc(:,I) %与特征值对应的特征向量运行程序可得 A 的特征值为lambda =0.90000.7000A 的特征向量pc =-0.5145 -0.7071-0.8575 -0.7071将小数乘以相应倍数变成整数V1=5 3, V2=1 1 P=5 3;1 1; P1AP=0.9 0;0 0.7;因为所有的特征值得绝对值都小于 1，所以当 k 趋近于无穷大时，xk 趋近于零。所以这个模型预示着斑点猫头鹰最终将会灭绝。（3） 采用试值法取 p=0.4. 可
8、求出 A 的特征向量与特征值如下：A = 0.4 0.3;-0.4 1.2;pc,lambda = eig(A); %求 A 的特征值和对应的特征向量Y,I = sort(diag(abs(lambda),descend);%对特征值的绝对值降序排列temp = diag(lambda);lambda = temp(I) %输出按特征值的绝对值降序排列的特征值pc = pc(:,I) %与特征值对应的特征向量运行程序可得 A 的特征值为lambda =1.00000.6000A 的特征向量pc =-0.4472 -0.8321-0.8944 -0.5547因为当 k 趋近于无穷大时，0.6k 趋近于 0.所以取 1.可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当。系统趋向于不稳定平衡的状态。五实验结论1.用 Matlab 软件可以方便的计算出矩阵的特征值和其对应的特征向量，从而能更好地帮助我们去分析动态系统 Xk+1=AXk 的演化过程。2.熟练掌握特征值与特征向量的运算
