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1、1. 三个基本无穷小,一、重点内容,第一章 无穷小与极限,2. 关于无穷小的比较定理,成立，,其中 C 为常数.,3. 设 q为常数,则,例1 设函数,解,求出 的解析表达式.,证 因,例2 证明数列 是无穷小.,而 是无穷小,根据比较定理, 数列 是无穷小.,例3 证明,证,由定理1.3, 有,不妨设,因,于是,定理1 无穷小与有界函数的乘积为无穷小.,无穷小与无穷大的关系,则当 时,设 在 的某空心邻域内有定义,答案,例4 证明,证,不妨设,因,于是,先证明,所以,故,无穷小与函数极限的关系,左极限与右极限,几个极限不存在的例子:,因,因,但要注意到:,求,解,可得,由,例5 若,定理2
2、(局部保号性),与 A 同号.,1. 设 且,例6 设函数 在 a, b上可导, 若,使得,则至少有一点,定理3 极限四则运算法则,则有,设,这是因为,推论,例7 已知,解,求常数 a, b.,典型极限,当 为非负整数时, 有,解,原极限,例8 已知 求常数 a, b.,例9 求,解,原式,求,解,即,因为,所以,例10 设,准则I 如果数列 及 满足下列条件:,那么数列 的极限存在, 且,两个极限准则,准则II 单调有界数列必有极限.,例11 求,解,由夹逼定理,例12 求,解,先考虑,因为,所以,故,定义,记作,记作,常用等价无穷小:,定理4 (等价无穷小替换定理),其它三个更高阶的无穷小
3、 【 】,例13 当,B,时，下面四个函数哪一个是比,解,解,例14 求,也可能是连续点, 需要判定.,初等函数无定义的孤立点是间断点.,分段函数的分段点可能是间断点,求函数的间断点的方法,间断点的分类,1. 跳跃间断点,2. 可去间断点,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,3. 第二类间断点,解,例15 求,例16 求函数,的间断点并判断其类型.,解,1. 铅直渐近线 (垂直于x 轴的渐近线),曲线的渐近线,2. 水平渐近线 (平行于x 轴的渐近线),例17 求出曲线,的水平与铅直渐近线.,解,的一条水平渐近线.,的铅直渐近线.,定理4 初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是
4、指包含在定义域内的区间.,初等函数求极限的方法代入法.,定理5 (零点定理),设函数 在闭区间 a, b上连续，且,与 异号(即 ),那么,在开区间 (a, b)内至少有函数 的一个零点,即至少有一点 使,定理6 闭区间上连续的函数, 必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值.,B,第二章 导数与微分,导数定义的几种常用形式,重点内容：,2. 右导数,单侧导数,1. 左导数,切线方程为,法线方程为,导数的几何意义,A.不存在 B. 3 C. 2 D. 1,定理1 可导函数都是连续函数.,A,C,A. 充分条件 B. 必要条件C. 充分必要条件 D.无因果关系, ,D,解,例5 设函数,解,
5、解,定理2,复合函数的求导法则,推广,对数求导法适用范围:,由参数方程所确定的函数的导数,则,例7,解,切点为,解 (1),例9 设,解,解,例11,解,例12,解,例13,解,例14 设,解,罗尔定理,(1) 在闭区间a, b上连续;,(2) 在开区间(a, b)内可导;,(3),使得,第三章 中值定理与导数的应用,利用罗尔定理的关键是构造辅助函数.,重点内容：,2. 因子法,如果待证等式为,如果,作辅助函数,且,只要,因此, 另一因子 可通过,确定.,( f (x)是一个因子),则,证 设辅助函数,在0, 1上用罗尔定理,使得,即有,例1 设,分析:问题转化为证,使得,证明在,拉格朗日中值
6、定理,(1) 在闭区间a, b上连续;,(2) 在开区间(a, b)内可导;,使得,例2 已知函数 在0,1上连续，在(0,1)内可导,且,分析 第一部分用闭区间上连续函数的介值定理；,证明：,(1) 存在 使得,使得,(2) 存在两个不同的点,第二部分为双介值问题，需两次使用拉格朗日中值定理.,证 (1),令,且 F(0)= -10,于是由介值定理知，,使得,即,则 F(x) 在0,1上连续，,(2) 在 和 上对 分别应用拉格朗日中值定理，,存在两个不同的点,使得,于是,解1,洛必达法则求极限,解2,例4,解,即 (1) 式成立.,证,例5 证明不等式,原不等式等价于,例6,证,原不等式得证.,例7 设,(1) 求 的驻点,(2) 求 的极值.,解(1),(2),解,例8 设函数,例9 设函数 在定义域内可导，,(A),的图形如右图所示则其导函数 的图形为【 】,(B),（C）,（D）,A,(A)无实根 (B)有且仅有一个实根 (C)有且仅有两个实根 (D)有无穷多个实根,例10 在区间 内，方程,解,C,设,由,而在(0,1)内,所以方程 在(0,1)内有一个实根；,当 x1时，,故方程 在 内有惟一实根.,因此，原方程有且仅有两个实根.,
