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1、 南京市 2011 届高三第一次模拟考试试卷数学2011.01参考公式:1.样本数据 的方差 ,其中 是这组12,nxL221()nisxx数据的平均数。2.柱体、椎体的体积公式: ,其中 S 是柱(锥)体的底面面,3VSh柱 体 椎 体积, 是高。h一、填空题:(5 分14=70 分)1.函数 的定义域是 .2yx2.已知复数 满足 ( 为虚数单位) ,z()1ii则 的模为 .3. 已知实数 满足 则,xy20,1,的最小值是 .2zxy4.如图所示的流程图,若输入的 ,则95x输出的结果为 .5.在集合 中随机取一个元素 ,在集,3Am合 中随机取一个元素 ,得到点 ,则点 P 在圆12
2、Bn(,)n内部的概率为 .9xy6.已知平面向量 满足 , 与 的夹角为 ,以 为,abr|1,|2brar3,abr邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 .7.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度,统计了该运动员在 6 场比赛中的得分,用茎叶图表示如图所示,则该组数据的方差为 . 8.在ABC 中,角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b、c ,若 ,tan21AcBb则角 A 的大小为 .9.已知双曲线 C: 的右顶点、右焦点分别为 A、F, 它21(0,)xyab 的左准线与 轴的交点为 B,若 A 是线段 BF 的中点,则双曲线 C 的离x心率为 .
3、10.已知正数数列 对任意 ,都有 ,若 ,na,pqNpqqa24a则 = .9a11.已知 是两条不同的直线, 是两个不同的平面。下列命题:,lm,若 则 ; 若,|l|则 ;,|lI|若 则 ; 若 则|,l|l ,|,lml.m其中真命题是 (写出所有真命题的序号).12.已知 ,若实数 满足 ,则2()log()fx,mn()23ffn的最小值是 .n13. 在ABC 中,已知 BC=2, ,则ABC 面积的最大值是 1ABCur .14.若直角坐标平面内两点 P、Q 满足条件:P、Q 都在函数 的图象()fx上;P、Q 关于原点对称,则称点对(P,Q )是函数 的一个“友好点对”
4、(点对(P,Q)与(Q ,P)看作同一个“友好点对” ).已知函数 则 的“友好点对”有 个.241,0(),xfe()fx二、解答题:(本大题共 6小题,共计 90分).15.(本题满分 14 分)已知函数 的最小正周期为 ,()2sin()0,)fx且 .4(1)求 的值;(2)若 ,求 的值。,6()()25fcos216. (本题满分 14 分)如图,在棱长均为 4 的三棱柱 中, 、 分别是 BC 和 的中点.1ABCD11BC(1)求证: 平面 ;A(2)若平面 ABC平面 , ,求三棱锥1160O的体积。1BAC17. (本题满分 14 分)如图,在半径为 30cm 的半圆形(O
5、 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 ABCD,其中点 A、B 在直径上,点 C、D 在圆周上。(1)怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大?并求最大面积;(2)若将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗) ,应怎样截取,才能使做出的圆柱形形罐子体积最大?并求最大面积.18. (本题满分 16 分)在直角坐标系 中,中心在原点 O,焦点在 轴上的椭圆 C 上的xOyx点 到两焦点的距离之和为 .(2,1)43(1)求椭圆 C 的方程;(2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 与椭圆 Cl分别交于 A、B 两点,其中点 A 在 轴下方,且 .
6、求过x3ABurO、A、B 三点的圆的方程.19. (本题满分 16 分)将数列 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数na表: 123456789aaL已知表中的第一列数 构成一个等差数列,记为 ,125,Lnb且 .表中每一行正中间一个数 构成数列 ,254,0b137,aLc其前 项和为 .nnS(1)求数列 的通项公式;b(2)若上表中,从第二行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,公比为同一个正数,且 .求 ;记13anS,若集合 M 的元素个数为 3,求实数|(1),nMcN的取值范围.20. (本题满分 16 分)已知函数 .()1ln()fxaxR(1)若曲
7、线 在 处的切线的方程为 ,y30xy求实数 的值;a(2)求证: 0 恒成立的充要条件是 ;()fx1a(3)若 ,且对任意 ,都有12,(0,x,求实数 的取值范围.1212|()|4|fxfxa南京市 2011 届高三第一次模拟考试 数学附加题 2011.0121.【选做题】在 A、B、C、 D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10分,共计 20 分.A.选修 4-1:几何证明选讲如图,AB 是半圆 O 的直径,C 是圆周上一点(异于 A、B) ,过 C 作圆 O 的切线 ,过 A 作直线 的垂线 AD,垂足为llD,AD 交半圆于点 E.求证: CB=CE.B. 选修 4-2:矩阵与
8、变换在平面直角坐标系 中,直线 在矩阵 对应xOy20xy14aMb的变换作用下得到直线 ,求实数 的值.:4m,aC. 选修 4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,圆 C: 和直线10cos相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.:3cos4in3lD.选修 4-5:不等式选讲解不等式 .|2|x【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.22.如图,在直三棱柱 中,1ABC,M 是 的中点.190,30,6OOACBA1C(1)求证: ;11M(2)求二面角 的平面角的AC大小.23.已知等比数列 的首项 ,na12 公比 , 是它的前 项和.求证: .3qnS13nS