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1、第 1 页（共 9 页）2007 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 球是表面积公式)()(PP 24RS如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 3Vn 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径nknPCP)1()(一选择题：(1)复数 的值是31i（A）0 (B)1 (C)-1 (D)1(2)函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2-x+1 在同一直角坐标系下的图象大致是(3) 21limx（A）0 (B)1 (C) 2(D) 32(
2、4)如图，ABCD-A 1B1C1D1 为正方体，下面结论错误的是（A）BD平面 CB1D1 （B ）AC 1BD（C）AC 1平面 CB1D1 （D ）异面直线 AD 与 CB1 角为 60（5）如果双曲线 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2，那么点 P 到 y 轴的距离是24yx（A） （B） （C） （D）3636632（6）设球 O 的半径是 1，A、 B、C 是球面上三点，已知 A 到 B、C 两点的球面距离都是 ，且三面角 B-OA-C 的大小为 ，则从 A 点沿球面经 B、C 两点再回到 A 点的最短距离是（A） （B） （C） （D ）67453423（7）设 A（a,1）
3、 ，B（2，b） ，C （4,5） ，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若 与 在 方向上的投影相同，则 a 与 b 满足的关系式为Ourr(A) (B) (C) (D) 3545ba145145ba（8）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 A、B，则| AB|等于2xy 0yx（A）3 （B） 4 （C） （D）232（9）某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资第 2 页（共 9 页）的 倍，且对每个项目的投资不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润，对项32目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润
4、，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（A）36 万元 （B） 31.2 万元 （C）30.4 万元 （D）24 万元（10）用数字 0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字，并且比 20000 大的五位偶数共有（A）288 个 （B） 240 个 （C）144 个 （D）126 个（11）如图，l 1、l 2、l 3 是同一平面内的三条平行直线，l 1 与 l2 间的距离是 1，l2 与 l3 间的距离是 2，正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1、l 2、l 3 上，则ABC 的边长是（A） （B） （C） （D）364473（12）已知一组抛物线 ，其中 a 为
5、2,4,6,8 中任取的一个数，b 为 1,3,5,7 中任取的一12bxay个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 x=1 交点处的切线相互平行的概率是（A） （B） （C） （D）12607256516二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在横线上.（13）若函数 f(x)=e-(x-u)2 (e 是自然对数的底数 )的最大值是 m,且 f(x)是偶函数，则 m+u= .(14)如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱长为 ，底面三角形的边长为 1，则 BC1 与侧面 ACC1A1 所成的角是 .(15)已知O 的方程是 x2+y2-2=0,
6、 O的方程是 x2+y2-8x+10=0,由动点 P 向O 和O 所引的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程是 .(16)下面有五个命题：函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 .终边在 y 轴上的角的集合是a|a= |.Zk,2在同一坐标系中，函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点.把函数 .2sin36)32sin( x函数 .0xy其中真命题的序号是 （写出真命题的序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17） （本小题满分 12 分）已知 ,0,143)cos(,712()求 的值. （）求 .2tan
7、（18） （本小题满分 12 分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.（）若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8，从中任意取出 4 件进行检验.求至少有 1 件是合格品的概率;（）若厂家发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格，按合同规定该商家从中任取 2 件，都进行检验，只有 2 件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数 的分布列及期望 ，并求该商家拒收这批产品的概率 .EBB1第 3 页（共 9 页）（19） （本小题满分 12 分）如图， 是直角梯形， 90，
8、 ， 1，PCBMPCBMBCP2，又 1， 120， ，直线 与直线 所成的角为 60.BCAAA（）求证：平面 平面 ;（）求二面角 的大小;M（）求三棱锥 的体积.P（20） （本小题满分 12 分）设 、 分别是椭圆 的左、右焦点.1F2142yx（）若 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值;P1PF（）设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且 为锐角（其中 为坐标)2,0(Ml ABO原点） ，求直线 的斜率 的取值范围.lk（21） （本小题满分 12 分）已知函数 ,设曲线 在点（x n，f（x n） ）处的切线与2()4fx)(fyx 轴的交点为（x n+1,0）
9、 （n N +） ，其中 x1 为正实数.()用表示 xn 表示 xn+1；()求证：对一切正整数 n，x n+1xn 的充要条件是：x 12；（）若 x1=4，记 an=lg ，证明数列a n成等比数列，并求数列x n的通项公式.。2(22)(本小题满分 14 分)设函数 .1(,1,)xfnNxR且()当 x=6 时,求 的展开式中二项式系数最大的项;x()对任意的实数 x,证明 2)(ff );)(的 导 函 数是 xffx()是否存在 ,使得 an 恒成立 ?若存在,试证明你的结论并求出 a 的值;N1kkna)1若不存在,请说明理由.2007 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
10、理科数学参考答案一选择题：本题考察基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分（1） A （2） C （3） D （4） D （5） A （6） C第 4 页（共 9 页）（7） A （8） C （9） B （10） B （11） D （12） B二填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分（13） （14） （15） （16） 1632x三解答题：（17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。解：（）由 ，得1cos,07222143sin1cos7 ，于是in43ta22ta8t（）由 ，得020又 ，13cos
11、42213sin1cos4由 得：scossin317142所以 3（18）本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。解：（）记“厂家任取 4 件产品检验，其中至少有 1 件是合格品”为事件 A用对立事件 A 来算，有 410.298PA（） 可能的取值为0,2， ，1720369CP137205C23019CP136530290190E记“商家任取 2 件产品检验，都合格”为事件 B，则商家拒收这批产品的概率7PB所以商家拒收这批产品的概率为 5（19）本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体
12、积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。解法一：（） ,PCABBCI ，平 面又 平 面19第 5 页（共 9 页） PACB平 面 平 面（）取 的中点 ，则 ，连结 ，BN1,ANM ， ，从而/M/ BC平 面作 ，交 的延长线于 ，连结 ，则由三垂线定理知， ，HHACNH从而 为二面角 的平面角直线 与直线 所成的角为APC06 06N在 中，由余弦定理得2 0cos123ANCAN在 中，M3cot1M在 中，CHsin2H在 中，N3taN故二面角 的平面角大小为MAB2arctn（）由（）知， 为正方形PC 013
13、sin1232PAAMNACNVVMN解法二：（）同解法一（）在平面 内，过 作 ，建立空间直角坐标系 （如图）BDBCxyz由题意有 ，设 ，31,020,Pz则 000,zACurur由直线 与直线 所成的解为 ，得M6，即 ，解得0cosCPrr2203zz01 ，设平面 的一个法向量为 ，310,1,AuMA1,nxyzr则 ，取 ，得132yz1x,3nr平面 的法向量取为ABC0,mur设 与 所成的角为 ，则murncos7nr显然，二面角 的平面角为锐角，MB故二面角 的平面角大小为A21arcs第 6 页（共 9 页）（）取平面 的法向量取为 ，则点 A 到平面 的距离PCM
14、1,0nur PCM132Anhur ，1,urr 11326PMACPVur（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。解：（）解法一：易知 2,1abc所以 ，设 ，则123,0FPxy22,3,3Pxyur 2221384xx因为 ，故当 ，即点 为椭圆短轴端点时， 有最小值,x12PFur当 ，即点 为椭圆长轴端点时， 有最大值12Fur解法二：易知 ，所以 ，设 ，则2,13abc3,0,xy221112121212osPFPFPPFrrurruru（以下同解法一）333xyxyxy （）显然直线 不满足题设条件，可设直线 ，0 122:,lkAxyB联立 ，消去 ，整理得：214kxyy22140kx 1223,4xkk由 得： 或2214032k又 009cosABAB
