5.2非线性规划问题

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1、实验 5.2 非线性规划问题5.2.1 实验目的（1.）学习非线性规划的基本理论与建模方法。（2.）学习 Matlab 软件中非线性规划问题的求解方法。5.2.2 实验背景知识介绍1.非线性规划问题的数学模型在数学规划问题中，若目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题，简记为 NP。同线性规划问题的数学模型一样，非线性规划问题的数学模型可以具有不同的形式，但不同形式之间往往可以转换，因此非线性规划问题一般形式可以表示成min(),nfxE(5.2.1),=012.()jijhmstgl）， ， ）其中： 称为模型（NP）的决策变量， 称为目标函数：1,2n=()

2、Tx f和 称为约束函数； 称为等式约束；(,.)ihm,.jgl ()=01,.)ihx称为不等式约束。0,.jgxl把一个实际问题归结成非线性规划问题时，一般要注意如下 4点。（1.）确定供选方案。首先要收集同问题有关的资料和数据，在全面熟悉问题的基础上，确认什么是问题的可供选择的方案，并用一组变量来表示它们。（2.）提出追求的目标。经过资料分析，根据实际需要和可能，提出要追求极小化或极大化的目标。并且，运用各种科学和技术原理，把它表示成数学关系式。（3.)给出价值标准。在提出要追求的目标之后，要确立所考虑目标的“好”或“ 坏” 的价值标准，并用某种数量形式来描述它。（4.）寻求限制条件。

3、由于所追求的目标一般都要在一定的条件下取得极小化或极大化效果，因此还要寻找出问题的所有限制条件，这些条件通常用变量之间的一些不等式或等式来表示。2.非线性规划的 Matlab 解法在含 Matlab 的优化工具箱中，非线性规划问题表示成（5.2.2）min()=.()0,fxAbeqstCxlbu线 性 不 等 式 约 束 ）（ 线 性 等 式 约 束 ）（ 非 线 性 不 等 式 约 束 ）（ 非 线 性 等 式 约 束 ）（ 有 界 约 束 ）求解式（5.2.2）的 Matlab 命令函数是 fmincon(),根据规划问题的条件不同，其主要运用格式有以下几种形式。x=fmincon(fu

4、n,x0,A,b).x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq).x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub).x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon).x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options).x,fval=fmincon(.).x,fval,exitflag=fmincon(.).x,fval,exitflag,output=fmincon(.).x,fval,exitflag,output,lambda=fmincon(.).x,fval,e

5、xitflag,output,lambda,grad=fmincon(.).参数说明：fun 为目标函数，x0 为初始值，A ，b 满足线性不等式约束 Axb,若没有不等式约束，则取 A= ，b= ；Aeq、beq 满足等式约束 Aeqx=beq,若没有，则取 Aeq= ,beq= ；lb 、ub 满足lbxub,若没有界，可设 lb= ，ub= ；lambda 是 Lagrange 乘子，它体现哪一个约束有效；output 输出优化信息；gard 表示目标函数x 处的梯度。其中参数 nonlcon 的作用是通过接受的向量 x 来计算非线性不等约束 C(x)0 和等式约束 Ceq(x)=0 分

6、别在 x 处的估计 C 和 Ceq，通过指定函数柄来使用，如：x=fmincon(myfun,x0,Ab,Aeq,beq,lb,ub,mycon).先建立非线性约束函数，并保存为 mycon.m：functionC,Ceq=mycon(x)C= %计算 x 处的非线性不等约束 C(x)0 的函数值Ceq= %计算 x 处的非线性等式约束 Ceq(x)=0 的函数值3.二次规划问题二次规划是特殊的一类非线性规划，其目标函数是二次函数，约束条件仍是线性的，其数学模型的一般形式为（5.2.3)1min2.(5.23)TxHcAbsteqlxu其中 H 为对称矩阵，约束条件与线性规划相同.在 Matl

7、ab 的优化工具箱中有一个求解二次规划问题的命令 quadprog(),其主要格式为x,fval,exitflag,output,lambda=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)其中参数的主要用法及说明同线性规划，这里不再赘述。5.2.3 实验内容1.非线性规划问题例 5.2.1 求解非线性规划问题 121212min()4)0.5xfexstx解 建立目标函数的 M 文件function y=nline(x)Y=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2）2+4*x(1)*x(2)+2*x(2）+1） ；建立非线性约束条件的 M 文件Fu

8、nction c1,c2=nyushu(x)c1=1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10;c2=0;在命令窗口中输入x0=-1,1;a=1,-1;b=1;Aeq=1,1;beq=0;x,f=fmincon(nline,x0,a,b,Aeq,beq, , ,nyueshu)运行后得x= -1.2247 1.2247f= 1.8951计算结果表明：当 , 时，目标函数的极小值1247x21.x为 1.8951.例 5.2.2 求解如下二次规划问题211212min()8036.,fxxst解 将目标函数化为标准形式111,2220()(8,0)xxfx在命令窗口

9、中输入H=2,0;0,2；c=-8,-10；a=3,2 ；b=6；lb=0,0;x0=1,1；计算结果表明:当 时，目标函数的极小值为-120.37,.538xx21.3077.x,f=quadprog(H,c,a,b,lb,x0)运行后得x=0.30772.5385f=-21.307计算结果表明：当 =0.3077， =2.5385 时，目标函数的最大值为-1x2x21.3077.2.非线性规划问题的实例例 5.2.3 （资金最优使用方案）设有 400 万元资金，要求在 4年内使用完，若在一年内使用资金 x 万元，则可获得效益 万元x（设效益不再投资） ，当年不用的资金可存入银行，年利率为

10、10%，试制定出这笔资金的使用方案，以使 4 年的经济效益总和为最大。分析 针对现有资金 400 万元，对于不同的使用方案，4 年内所获得的效益的总和是不相同的。比如第一年就把 400 万元全部用完，这获得的效益总和为 =20.0 万元；若前三年均不用这笔资0金，而把它存入银行，则第四年时的本息和为 400 =532.4 万元，31.再把它全部用完，则效益总和为 23.07 万元，比第一种方案效益多3 万多元，所以用最优化方法可以制定出一种最优的使用方案，以使 4 年的经济效益总和为最大。建立模型：设 表示第 i 年所使用资金数，T 表示 4 年的效益总ix和，则目标函数为：1234max+T

11、xx决策变量的约束条件：每一年所使用资金既不能为负数，也不能超过当年所拥有的资金数，即第一年使用的资金数 ，满足1x0 4001x第二年资金数 ，满足2 0 （400- )1.12x1x(第一年未使用资金存入银行一年后的本利之和） ；第三年资金数 ，满足3x0 (400- )1.1- 1.131x2第四年资金数 ，满足4x0 (400- )1.1- 1.1- 1.141x23x这样，资金使用问题的数学模型为1234max+Txx1234120. 83.52.,0stxx模型的求解：这是非线性规划模型的求解问题，可选用函数x.fval=fmincon(fun,x0,a,b,Aeq,beq,lb,

12、ub)对问题进行求解。首先，用极小化的形式将目标函数改写为1234minTxx其次，将约束条件表示为如下形式Axblu其中各输入参数为， ， 123,4TXx0,Tlb40,1,0Tub1.1,8.32532.4A解 首先编写目标函数的 M 文件，并将其保存为 totle.mFunction y=totle(x)y=-sqrt(x(1)-sqrt(x(2)-sqrt(x(3)-sqrt(x(4);其次编写主程序并保存为文件 exam523.mClear allA=1.1,1,0;1.21,1.1,1,0;1.331,1.21,1.1,1;b=440,484,532.4;Lb=0,0,0,0;u

13、b=400,1000,1000,1000;x0=100,100,100,100;x,fval=fmincon(totle,x0,A,b,lb,ub)结果输出：运行 exam523.m,可获得如下的运行结果x=(84.2440 107.6353 128.9031 148.2391)Fval= -43.0821也即如表 5.5 所列表 5.8 资金最优使用方案第一年 第二年 第三年 第四年现有资金/ 万元 400 347.4 263.8 148.2使用金额/ 万元 84.2 107.6 128.9 148.24 年效益总和最大值为 T=43.08 万元，这是第一年用完全部资金效益 20.0 万元的

14、 2 倍多，这也反映出进行定量的优化计算的作用。所以，一些业内人士称最优化方法为“无需增加投入就能增加产品的手段。 ”例 5.2.4 某公司欲以每件 2 元的价格购进一批商品。一般来说随着商品售价的提高预期销售量将减少，并对此进行了估算，结果如表一、二栏。为了尽快收回资金并获得较多的赢利，公司打算做广告，投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。据统计，广告费与销售增长因子关系如表三、四栏所示。问公司采取怎样的营销决策能使预期的利润最大？表 5.9 售价与预期销售量、广告费与销售增长因子售价/元 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.5

15、0 6.00预期销售量/万元 4.1 3.8 3.4 3.2 2.9 2.8 2.5 2.2 2.0广告费/万元 0 1 2 3 4 5 6 7销售增长因子 1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80解： 设 x 表示售价（单位：元） ，y 表示预期销售量（单位：万元） ，z 表示广告费（单位：万元）k 表示销售增长因子。投入广告费后，实际销量记为 s（万元） ，获得的利润记为 p（单位：万元） 。由表易知预期销售量 y 随着售价 x 的增加而单调下降，而销售增长因子 k 在开始时随着广告费 z 的增加而增加，在广告费 z 等于 5 万元时达到最大值，然后在广告费增加时反而有所回落，为此先画出散点图。程序如下：Clearx=2.0,2.5,3.0,3.5,4.0,4.5,5.0,5.5,6.0;s=4.1 3.8 3.4 3.2 2.9 2.8 2.5 2.2 2.0;plot(x,s,-*)