《异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角专题复习与提高》由会员分享，可在线阅读，更多相关《异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角专题复习与提高（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1空间角专题复习知识梳理一、异面直线所成的角及求法(1)定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角(2)取值范围：若 是异面直线 a 和 b 所成的角，则其取值范围是 (0， ， 2当 时，称异面直线 a 和 b 垂直，记为 ab. 2(3)求法：平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角形，通过解该三角形而求其大小；二、直线与平面所成的角及求法(1)定义：设 l 和 分别表示直线与平面若 l 或 l ，则称直线 l 和平面 所成的角为 0；若 l ，则称 l 与 所成的角为 ；若 l 与 相交，则 l2与 l 在 内的射影所
2、成的锐角为直线 l 与平面 所成的角(2)取值范围：设 是直线 l 与平面 所成的角，则 的取值范围是 0,2(3)求法：定义法：探寻直线 l 在平面 内的射影，(通常由垂直法找射影)构造直线 l 与平面 所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角三、二面角及求法(1)定义：在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角，且定义平面角的大小为该二面角的大小(2)取值范围：规定二面角的取值范围为0， (3)求法：定义法：分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角2练习提升1如图，E、F 分别是
3、三棱锥 PABC 的棱 AP、BC 的中点，PC10，AB6，EF7，则异面直线 AB 与 PC 所成的角为 ( )A30 B45C60 D90答案：C2. 已知长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ABBC 4，CC 12，则直线 BC1 和平面 DBB1D1 所成的角的正弦值为( )A. B.32 52C. D.105 1010答案：C3.如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，ABC60，将菱形沿对角线 AC折起，使折起后 BD1，则二面角 BACD 的余弦值为 ( )A. B.13 12C. D.223 32答案：A4在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，B 1C 与对角面 D
4、D1B1B 所成角的大小是 ( )A15 B30 C45 D60 答案：B5如图，ABCDA 1B1C1D1 是长方体，AA 1a，BAB 1B 1A1C130，则 AB 与 A1C1所成的角为_，AA 1 与 B1C 所成的角为_答案： ，03456. 在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，(1)直线 A1B 与平面 ABCD 所成的角是_；(2)直线 A1B 与平面 ABC1D1 所成的角是_；(3)直线 A1B 与平面 AB1C1D 所成的角是_答案 (1)45(2)30(3)907设直线与平面所成角的大小范围为集合 P，二面角的平面角大小范围为集合 Q，异面直3线所成角的大小范围为
5、集合 R，则 P、Q 、R 的关系为( )ARP QB RPQCPRQ DRPQ答案：B8设ABC 和DBC 所在两平面互相垂直，且 ABBCBDa，CBACBD120，则 AD 与平面 BCD 所成角的大小为 ()A30 B45C60 D75解析：作 AOCB 交 CB 的延长线于 O，连接 OD，则 OD 即为 AD 在平面 BCD 内的射影， ADO 即为 AD 与平面 BCD 所成的角AOOD a，32ADO45.答案：B9. 如图，AB 是圆的直径， PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点( 不同于 A、B)且PAAC，则二面角 PBCA 的大小为()A60 B30 C45 D15
6、答案 C10如图，已知四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PA平面 ABCD，且 PAAD ，则平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的度数为( )A90 B60C45 D30解析：ABCD，面 PAB 与平面 PCD 的交线 l 必为过 P 点与 AB 平行的直线PA平面 ABCD，PAAB，PACD，又 CDAD，DC平面 PAD，DCPD，PAl，PDl，即 APD 为所求二面角的平面角，APD45.4答案：C11把正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，对于下列结论：ACBD；ADC 是正三角形；AB 与 CD 成 60角； AB 与平面 BCD 成 60角则其中正确结论的
7、个数是( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解析：取 BD 的中点 O，则 BDOC，BDOA，得 BD平面AOC，BDAC，正确；cos ADCcos45cos45 ，ADC60 ，12ADDC，ADC 是正三角形，正确；AB 与 CD 成 60角，正确；AB 与平面 BCD 成角 ABO45 ，错误答案：C12如图所示的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，过顶点 B、D、C 1 作截面，则二面角BDC 1C 的平面角的余弦值是 _解析：取 C1D 的中点 O，连接 BO、CO，则 BOC1D，COC1D，BOC 是二面角 BDC 1C 的平面角设正方体的棱长为 1，则 CO ，2
8、2BDC1为正三角形，OB ，且 BC1，62cosBOC .OB2 OC2 BC22OBOC 33答案：3313如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABBC AA 1，ABC 90，点 E、F 分别是棱AB、BB 1 的中点则直线 EF 和 BC1 所成的角是()A45 B60C90 D120解析：取 B1C1 的中点 G，A1B1 的中点 H，连结 FG、BG、HG、EH，则 FGBC1，且EFG或其补角就是所求的角，利用余弦定理可求得 cosEFG ，故所求角 为 60.12答案：B514如图，将 RtABC 沿斜边上的高 AD 折成 120的二面角 CADC，若直角边AB4 ，
9、AC4 ，则二面角 ABCD 的正切值为( )3 6A. B.222C. D124解析：CDC120，过 D 作 DEBC于 E，连结 AE，则 AED 即为所求又知 AD平面 BCD，AD4 ，在BCD 中，由余弦定理求得 BC4 ，再由面积公式 S2 3BCD BCDE BDCD sin60知 DE4， tanAED .12 12 ADDE 2答案：A点评：考查二面角的知识，余弦定理及三角形的 边角计算如何作出二面角的平面角是解决此类问题的关键15在矩形 ABCD 中，AB 3，AD 4，PA 平面 ABCD，PA ，那么二面角 ABD435P 的度数是( )A30 B45C60 D75解
10、析：如右图所示，过 A 作 AEBD，垂足为 E，连结 PE，则 PEBD(三垂线定理)，故PEA 为二面角 PBDA 的平面角在 RtBAD 中，AE .ABADBD 125在 RtPAE 中，tan PEA ，PEA30.PAAE 33答案：A16正四棱锥 PABCD 的两个侧面 PAB 与 PCD 互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的平面角为()A60 B906C120 D150解析：如图，作 BEPC，连结 DE.PDCPBC，DEPCDEB 就是二面角 DPCB 的平面角，O 为 DB 的中点，OEB DEB，12又 面 PAB面 PCD，PO AB，12在 RtPOC 中， OC
11、AB，所以 PC AB.22 32OE AB.12AB 22AB32AB 66tanOEB ，22AB66AB 3OEB ，DEB .3 23答案：C17. 如图，在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为 的等腰三角形，则二面角 VABC 的度数是_5答案 6018如图，直角梯形 ABCD 中，ABCD，DAB ，点 M、N 分别在 AB，CD 上，且2MNAB，MCCB，BC2，MB4，现将梯形 ABCD 沿 MN 折起，使平面 AMND 与平面 MNCB 垂直(如图)7(1)求证：AB平面 DNC；(2)当 DN 时，求二面角 DBC N
12、的大小32解：(1)证明：MBNC ，MB平面 DNC，NC平面 DNC，MB平面 DNC.同理 MA平面 DNC，又 MAMBM，且 MA、MB平面 MAB.Error!AB 平面 DNC.(2)过 N 作 NHBC 交 BC 延长线 于 H，平面 AMND平面 MNCB，DNMN，DN平面 MBCN，从而 DHBC，DHN 为二面角 DBCN 的平面角由 MB4，BC2， MCB90知MBC60，CN42cos603，NH3sin60 .332由条件知：tanNHD ，NHD30.DNNH 3319.如图，已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，PA AD
13、1，AB2，E、F 分别是 AB、PD 的中点(1)求证：AF平面 PEC；(2)求 PC 与平面 ABCD 所成的角的正切值；(3)求二面角 PECD 的正切值解：(1)证明：如图，取 PC 的中点 O，连接 OF、OE，则 FODC，且 FO DC，12FOAE，又 E 是 AB 的中点，且 ABDC，FOAE.四 边形 AEOF 是平行四边形，AFOE.8又 OE平面 PEC，AF平面 PEC，AF平面 PEC.(2)如图，连接 AC，PA平面 ABCD，PCA 是直线 PC 与平面 ABCD 所成的角在 RtPAC 中，tanPCAPAAC ，15 55即直线 PC 与平面 ABCD 所成的角的正切值为 .55(3)如图，作 AMCE，交 CE 的延长线于 M.连接 PM，由三垂 线定理得 PMCE，PMA 是二面角 PECD 的平面角由AME CBE 可得AM ，22tanPMA .PAAM 2二面角 PECD 的正切值为 .220. 如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，BCD60， E 是 CD 的中点，PA 底面 ABCD，PA .3(1)证明：平面 PBE平面 PAB；(2)求二面角 ABE
