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1、解答题专项训练（一）1. 2010安徽高考理科）如图，在多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD是正方形， EF AB，EFB， 2AEF， 90BC， ， H为 的中点。(1)求证： H平面 D；(2)求证： 平面 ；(3)求二面角 的大小。【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。【规范解答】综合法证明如下：(1) ,1/,2/,2/ACBDGACEGHHHBEFEFED设 与 交 于 点 ， 则 为 的 中 点 ， 连 ，由 于 为 的 中
2、点 ， 故又 四 边 形 为 平 行 四 边 形， 而 平 面 ， 平 面 ,.,./,BBFCHFBGCAHDAECBII（ ） 由 四 边 形 为 正 方 形 ， 有 A又 /，而 ， 且平 面又 为 的 中 点 ，且 平 面又 ，又 ， 平 面 ,90, .1,2,32/ sinsi,3sin,ta3,3FFCDEBFDEABCFCEFKEKFEDBoQ（ 3） 平 面 ，在 平 面 内 过 点 作 K交 的 延 长 线 于 K,平 面则 为 二 面 角 -的 一 个 平 面 角 。设 则又 B=60,oo即 二 面 角 -DC为 60。 AE FBCDHGAE FBCDHGK向量法证明
3、如下： ,/,.ABCDABCEFBAFBCBFHHQQII四 边 形 为 正 方 形 ， 又 且 ，平 面又 为 中 点 ，且 平 面 BGFur如 图 ， 以 为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 、 、 的 方 向 为x轴 、 y轴 、 z轴 的 正 方 向 建 立 坐 标 系 ，1,(2,0)(1,)(,0)(1,20)(,1)(0,).BACDEF令 则(1) (,)(0,1)/HFHFGE urururQ设 C与 D的 交 点 为 ， 连 接 GE、 ,则 （ ,-） ， G又 平 面 B平 面 ,平 面 B(2) (2,0)(,1)0,.ACACrrrugIE又 D且 =， 平 面
4、 D.(3) 1111(,)(1,)20.00,yzBEzyDruruQgr1设 平 面 的 法 向 量 为 nn由 即 ， 得 ，（ ， ）2222(,),(0,)1.001,1,-zCEyyzzururQgr22设 平 面 的 法 向 量 为 nn由 即 ， 得 ，（ ， ） 1221 1cos, ,2|60nnoourr即 二 面 角 B-DEC为 60。【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行；2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中AE FBCDHGXYZMC
5、GP HI FBD EA进行求解。4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。2. 如图，在等腰梯形 PDCB中， 3,1,2,CPDB A为 PB边上一点，且 1,PA将PA沿 折起，使平面 A平面 ()求证： 平面 ；() 若 M为 的中点，试求异面直线 M和 所成的角的余弦值() 试问：在侧棱 上是否存在一点 Q，使截面 把几何体分成的两部分的体积之比 :7:2PDCABV ？若存在，请求 PQ的长；若不存在，请说明理由.解：()证明：依题意知 1,PA2DAB，又 CD B又 平面 平面 C
6、，平面 I平面 CDA，平面 3 分() 如图,把四棱锥 补成一个长方体，其中 ,G分别为所在棱的中点,则易得 AM F， B，所以 F就是异面直线 和 所成的角4 分连结 FG，在 BE中， 212,GE在 中， 23,在 D中， 2, 5D，由余弦定理可得： 22510cos .FF6 分所以异面直线 AM和 BC所成的角的余弦值为 8 分() 解：假设在侧棱 P上存在一点 Q，满足条件 :7:2PDCQABV， 29ACBPABCDV9 分又由 0知 平面 ，又113,ABSDABS1设 到平面 的距离为 h，则 2231.992ABCDCABCDSh D CP BAA BD CPM又
7、hBQPA， 1,3P故 253QPB12 分另解：() 由 90DA知 平面 ACD，如图，分别以 ,ADBP所在的直线为x轴、 y轴、 z轴，建立空间直角坐标系 xyz，则易得各点的坐标为 01,01,0C,2.故 ur,1Cur,2Bur设 ,nxy是平面 PD的一个法向量，由 0nDP可得10xy由 ru可得 1y， ,xy,nr，,20210,nAB.r又因为 是平面 PAD的一个法向量，所以平面 P平面 C4 分()由() 知 的中点的坐标为 ,2M故 1,2Aur又 1,0CBur1cos, .5004BAMurr所以异面直线 和 C所成的角的余弦值为 5 3. 如图，椭圆长轴端
8、点为 ， 为椭圆中心， 为椭圆的右焦点,且 ， ；BA,OF1AFBurOur（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为 ，直线 交椭圆于 两点，问：MlQP,是否存在直线 ，使点 恰为 的垂心？若存在，求出直lFP线 的方程;若不存在，请说明理由.l解：（1）如图建系，设椭圆方程为,则2(0)xyab1c又 即 1FBA2()ac 来源:学。科。网 Z。X。X。K2a故 椭圆方程为 6 分来源:学|科|网21xy（2）假设存在直线 交椭圆于 两点，且 恰为lQP,FxyzA BD CPM的垂心，则设 ， ，故 ， 8 分PQM12(,)(,)PxyQ(0,1),MF1PQk于是设直线 为
9、 ，由 得lmx10 分22340x 又121()()PFQxy ur (1,2)iiyxm得 即122()m由韦达定理得2()0x2413 解得 或 （舍） 经检验 符合条件m43m4. 椭圆 G： 的两个焦点为 F1、F 2，短轴两端点 B1、B 2，已知 F1、F 2、B 1、B 2 四)0(12bayx点共圆 ，且点 N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为 .5（1）求此时椭圆 G 的方程；（2）设斜率为 k（k0）的直线 m 与椭圆 G 相交于不同的两点 E、F，Q 为 EF 的中点，问 E、F 两点能否关于过点 的直线对称？若能，求出 k 的取值范围；若不能，请说明理由.QP、)3,
10、(21、解:（1）根据椭圆的几何性质，线段 F1F2 与线段 B1B2 互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心，-1故该椭圆中 a= b= c,即椭圆方程可为 x2+2y2=2b2-22设 H（x，y）为椭圆上一点，则-3bybyN 其 中,18)3()(| 222若 0 96|,3HNbb有 最 大 值时 ，则 当由 （舍去）42550962 得若 b3，当 y=3 时，|HN| 2 有最大值 2b2+18 由 2b2+18=50 得 b2=16 所求椭圆方程为 61632yx（ii）设 E（x 1，y 1） ，F(x 2，y 2） ，Q （x 0，y 0） ，则由 021632021 kyxyx两 式 相 减 得又直线 PQ直线 m 直线 PQ 方程为 31xky将点 Q（x 0，y 0）代入上式得， 800由得 Q 10)3,2(k而 Q 点必在椭圆内部 由此得1620yx 0,247k又940294k或故当 时 E、F 两点关于点 P、Q 的直线对称.12)2,(),(k
