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1、概率论与数理统计（经管类） （4183）自学考试复习提纲第一章 随机事件与概率1、排列组合公式：排列数 从 m个人中挑出 n个人进行排列的)!(nPnm可能数。组合数 从 m个人中挑出 n个人进行组合)!(Cnm的可能数。例如：袋中有 8个球，从中任取 3个球，求取法有多少种？解：任取出三个球与所取 3个球顺序无关，故方法数为组合数 38*76512C注：排列数经常用组合数及乘法原理得到，并不直接写出。2、加法和乘法原理：加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m种方法完成，第二种方法可由 n种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两
2、个步骤分别不能完成这件事）：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。例 1、从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火 1、火 2、火 3，则坐火车的方法有 3种；第二类坐飞机，若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机，分别记作飞 1、飞 2。问北京到上海的交通方法共有多少种。解：从北京到上海的交通方法共有火 1、火 2、火 3、飞 1、飞 2共 5种。它是由第一类的 3种方法与第二类的 2种方法相加而成。例 2、从北京经天津到上海，需分两步到达。第一步从北京到天津的汽车有早
3、、中、晚三班，记作汽 1、汽 2、汽 3第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞 1、飞 2问从北京经天津到上海的交通方法有多少种？解：从北京经天津到上海的交通方法共有：汽 1飞 1，汽 1飞 2，汽 2飞 1，汽 2飞 2，汽 3飞 1，汽 3飞 2。共 6种，它是由第一步由北京到天津的 3种方法与第二步由天津到上海的 2种方法相乘 32=6生成。3、基本事件、样本空间和事件：如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。随机试验所有可能结果构成的集合为样本空间，记为 。 中的元素称为样本点，记为
4、 。样本空间的任一子集称为随机事件。通常用大写字母 A， B， C， 表示事件，它们是 的子集。必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用 表示必然事件。例如，掷一次骰子，点数6 的事件一定出现，它是必然事件。不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用 表示不可能事件。例如，掷一次骰子，点数大于 6的事件一定不出现，它是不可能事件。4、事件的关系与运算：关系：如果事件 A的组成部分也是事件 B的组成部分， （ A发生必有事件 B发生）：B如果同时有 ， ，则称事件 A与事件 B等价，或称 A等于B： A=B。A、 B中至少有一个发生的事件： ，或者 。U属
5、于 A而不属于 B的部分所构成的事件，称为 A与 B的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB或者 ，它表示 A发生而 B不发生的事件。A、 B同时发生： ，或者 。 ，则表示 A与 B不可能同时发生，I I称事件 A与事件 B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。称为事件 A的逆事件，或称 A的对立事件，记为 。它表示 A不发生的事件。互斥未必对立。运算：交换律： ,BBIIU结合律：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配律：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)德摩根律： ，AIAI例 3、A，B，C 表示三事件，用 A，B，C 的运算表示以下事件。（1）A
6、，B，C 三事件中，仅事件 A发生（2）A，B，C 三事件都发生（3）A，B，C 三事件都不发生（4）A，B，C 三事件不全发生（5）A，B，C 三事件只有一个发生（6）A，B，C 三事件中至少有一个发生解：（1） （2） （3） （4）ABCABC（5） （6）U例 4、某射手射击目标三次：A 1表示第 1次射中，A 2表示第 2次射中，A 3表示第 3次射中。 表示三次中射中 0次， 表示三次中射中 1次， 表示三次中0 2射中 2次， 表示三次中射中 3次，请用 、 、 的运算来表示 、 、3B1230B1、 。解：（1） 0123BA（2） 123123A（3） 213（4） 3BA例
7、 5、A，B，C 表示三事件，用 A，B，C 的运算表示下列事件。（1）A，B 都发生且 C不发生（2）A 与 B至少有一个发生而且 C不发生（3）A，B，C 都发生或 A，B，C 都不发生（4）A，B，C 中最多有一个发生（5）A，B，C 中恰有两个发生（6）A，B，C 中至少有两个发生（7）A，B，C 中最多有两个发生解：（1） （2） （3） ()ABCUABCU（4） （5） （6）ABC（7）例 6、若 =1，2，3，4，5，6；A=1，3，5；B=1，2，3求（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；ABAB（5） ；（6） ；（7） ，（8） 。解：（1） =1，2，3，5；（2）
8、 =1，3；（3） =2，4，6； （4） =4，5，6；（5） =4，6； （6） =2，4，5，6；ABAB（7） =2，4，5，6； （8） =4，6由本例可验算对偶律， ， 正确BAIUUI例 7、A，B，C 为三事件，说明下列表示式的意义。（1） ；（2） ；（3） ；（4） ABC解：（1） 表示事件 A，B，C 都发生的事件。（2） 表示 A，B 都发生且 C不发生的事件。（3）AB 表示事件 A与 B都发生的事件，对 C没有规定，说明 C可发生，也可不发生。AB 表示 A与 B都发生的事件。（4） ()CC所以 表示 A与 B都发生的事件。5、概率的公理化定义：设 为样本空间，
9、 为事件，对每一个事件 A都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1， 2 P() =13 对于两两互不相容的事件 1， 2，有11)(iii APU（3通常称为可列（完全）可加性）则称 P(A)为事件 A的概率。6、古典概型：1 ，nL21,2 。PPn1)()()设任一事件 A，它是由 组成的，则有m2,P(A)= )()(21mUL)()(21mPLn基 本 事 件 总 数所 包 含 的 基 本 事 件 数例 8、 掷三次硬币，设 A表示恰有一次出现正面，B 表示三次都出现正面，C表示至少出现一次正面，求：（1）P（A）；（2）P（B）；（3）P（C）解：样本空间 =正
10、正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反；（1） （2） （3）()81()8P7()8P7、常用公式：加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)例 9、 若 P（A）=0.5，P（A+B）=0.8，P（AB）=0.3，求 P（B）解：因为 P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）P（B）=P（A+B）+P（AB）-P（A）=0.8+0.3-0.5=0.6减法公式：P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A= 时，P( )=1- P(B)B例 10、 已知 P（
11、B）=0.8，P（AB）=0.5，求 。()PAB解： 。()()()0.3A例 11、若 A与 B互不相容，P（A）=0.5，P（B）=0.3，求 。()解：（1）P（A+B）=P（A）+P（B）=0.8根据对偶公式 所以 。 ()()1()0.2PAB条件概率：定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称 为事件 A发生条件下，事件)(PBB发生的条件概率，记为 。)/(ABP)(乘法公式： )/()(AP更一般地，对事件 A1，A 2，A n，若 P(A1A2An-1)0，则有21 n )|()|31P 21|(Pn )1nA。事件独立性：两个事件的独立性设事件 A、 B满足 )(
12、)(BA，则称事件 、 B是相互独立的。若事件 、 相互独立，且 0，则有)()()(|( PP若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 A与 也都相互独立。必然事件 和不可能事件 与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，那么 A、B、C 相互独立。对于 n个事件的独立性，可类似定义。例 12、甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次, 他们击中目标的概率分别为 0.7， 0.8 和
13、0.9，求目标被击中的概率。解：记 =目标被击中，则A 94.0)71(8.0)9.1()(1)( AP全概公式：设事件 nB,21L满足1 两两互不相容， ),21(0)niBPiL，2 UniA1，则有 )|()|()|()( 2211 nnBAPAAPL。例 13、有两批相同的产品, 第一批产品共 14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个箱中; 第二批有 10 件 , 其中有一件是次品, 装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中, 然后再从第二箱中任取一件, 求从第二箱中取到的是次品的概率。解：用 表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数 ”。用 表示)2,10(iA i
14、B事件“从第二箱中取到的是次品” 。则21 212044146(),(),(),999CCCPPPA， ， ，0BA1BA23B根据全概率公式，有： 28)()()()( 2100 APPP贝叶斯公式：设事件 1B， 2， n及 A满足1 ， ， 两两互不相容， )(Bi0， i1，2， n，2 UniA1， 0)(P，则，i=1，2，n。1()| )iiinjjjPABB此公式即为贝叶斯公式。， （ 1i， 2， ） ，通常叫先验概率。)(iBP， （ ， ， n） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”/Ai的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。例 14、设男女两性人口之比为 51
15、 : 49, 男性中的 5% 是色盲患者, 女性中的 2.5% 是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人, 恰好是色盲患者, 求此人为男性的概率。解：用 表示色盲， 表示男性，则 表示女性，由已知条件，显然有：BAA因此：,025.)(,05.)(,49.0)(,51.)( ABPAP根据贝叶斯公式，所求概率为： 1502)()()()()( ABPBB伯努利概型：我们作了 n次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果， A发生或 不发生； 次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 n重伯努利试验。用 p表示每次试验 A发生的概率，则 A发生的概率为 qp1，用 )(kPn表示n重伯努利试验中 出现 )0(k次的概率， knnPC)(，k,210L。例 15、在四次独立试验中, 事件 A 至少发生一次的概率为 0.5904, 求在三次独立试验中, 事件 A 发生一次的概率.解：记 =四次独立试验，事件 A 至少发生一次， =四次独立试验，事4 4A件
