2016年中考数学专题复习和训练三：三角形的相关计算与证明

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1、赵中 2016 中考数学专题复习和训练 三 第 1 页（共 10 页） 第 2 页 （共 10 页）2016 年中考数学专题复习和训练三: 三角形的相关计算与证明班级： 姓名： 编制：赵化中学 郑宗平专题透析：三角形的相关计算与证明是初中数学中考新人教版重要题型之一，包括三角形的边与角、解直角三角形与勾股定理、等腰三角形、全等三角形、相似三角形、锐角三角函数等相关知识，一般会与图形的翻折或旋转、圆、四边形的相关知识综合起来考查，解这方面的题时，需记相应的性质及定理，认真观察图形，找准图形的关键点，综合分析，从而理清解题思路.典例精析：例 1.如图， 是 内一点， , 分别DABCDC,A6BD

2、4C3、EFGH、是 的中点，则四边形 的周长是 .AB、 EFGH分析：本题关键是抓住四边形 的四条边分别是 、 、 、AB 的中位线，而在它们所对应的第三边中，只有 是未知的；而 是C 的斜边， 根据勾股定理Rt B,A6B43、可求 ;根据三角形的中位线定理可以求四边形 的2B345 EFGH四边的长，其周长可求出.解：（由同学们自我完成解答并填写正确答案）.师生互动练习：1.顺次连结平行四边形四边中点得到的四边形形状为 ； .顺次连结菱形四边中点得到的四边形形状为 ；.顺次连结矩形四边中点得到的四边形形状为 ；.顺次连结对角线相等且互相垂直的四边形四边中点得到的四边形形状为 ；2.如图

3、， 分别为 的三边的中点：DEF、ABC.若 的周长为 ，则 周长为 ；6cm.若 的面积为 ，则 的面积为 . ABC23DEF.我们把 称为第 1 个中点三角形，再取 三边的中点可以作出第 2 个中点三角形，再取第 2 个中点三角形的三边中点作出第 3 个中点三角形，依此作法，若原 的周长为 1，则第 2016 个中点三角形AB的周长为 .3.已知菱形 的两条对角线分别为 6 和 8， 分别是边MN、BCD、的中点, 是对角线 上一点，则 的最小值为 .PP4.已知 中， , 平分 , 于 ; 为ABCADBCADEBC的中点，连结 .若 ，则 的长为 .E64E5. 如图，已知 分别是

4、的三边 的中点，F、 、AM是 边上的高，分别连结 ，测得 ，则 = .M、9cmF6. 如图，已知 分别是 的 的平分线；BC、ABCAB、垂足分别为 ，连结 .AFD,GEG、求证： 例 2.如图，正方形 中，边长为 的等边三角形 的顶点2EF分别在 和 上，下列结论：E、BC. ;. ;. ;FAE75oBD. 正方形 . 其中正确的序号是 .SD23分析：本题的关键是利用正方形和等边三角形的性质证明 ，本题RtABEtDF的把先利用在等腰直角三角形 ，把三边的求出来，然后把问题转化在 或CFRABE 利用勾股定理建立方程使问题得到进一步的解决.RtABE解：（由同学们自我完成解答并填写

5、正确答案）.师生互动练习：1. 正方形 的边长为 8， 在 上，且 , 是 上一动CDMD2NAC点，则 的最小值为 （ ）NA.8 B. C. D.10 2172.如图，正方形 是一块绿化带， 为其中心，阴影部分ABOEOFB和 都是正方形花圃.已知自由飞翔的小鸟蒋随机落在这块绿化HM带上，则小鸟落在花圃上的概率为 （ ）A. B. C. D.1732123617383.如图，以正方形 的边 为一边向外作一等边 ,连结ABCDPDC,则图 的度数为 .BP4.在正方形 中, ,点 在边 上，且 ,将6EC3EAV沿 对折至 ,延长 交边 于点 ,连结 ，下列结论：AEFVBGAF、. ；.

6、；. ；. 是等边G三角形.其中，正确的结论有 .（填序号）5.正方形 的面积为 1， 为正三角形，则 的面积为BCDPBPDGHEFDBCAEFDABC NDAMBCPEDABCEDFAMCB FGDAB CFDABC MDCABNGFEDABCPADBCHGMNFEODABC 1PDABC赵中 2016 中考数学专题复习和训练 三 第 3 页（共 10 页） 第 4 页 （共 10 页）.6.如图，已知直线 ，相邻的两条平行线间的距1234llP离都是 1，如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则 = .sin7.正方形 的边长为 , 是 上两个点，且ABCDcmMN、BCD、

7、动始终保持 ,当 =_ 时，四边形 的cAN面积最大，最大面积为 _ 28. 如图, 是正方形 的对角线， 平分 , 交 于点 .EFCAF.图中与线段 BE 相等的所有线段是 ；.选择图中与 BE 相等的任意一条线段，并加以证明.9. 如图, 正方形 的对角线交于 ， 的平分线交 于点ABCDOBACB,交 于点 .EF求证： 1O2例 3.如图，已知 , 为边 延长线上一点，连结 ，使 .ECE、A.求证： ;BAC.若 ,求 的面积.30D45B10oo、 ABD分析：.利用 可以证明两个三角形全等.S.过点 作 于 ,只要求出 的长GG求出平行四边形 的面积.E解：（由同学们自我完成本

8、题解答）.师生互动练习：1. 在 中，对角线 相交于点 ；则图中的全等三角形ABCDACBD、O有 对，面积相等的三角形有 对；若 的周长为ABCD， 与 的周长之差为 ，则此 的四边长分别36O4为 .2.如图，在 ABCD 中,对角线 相交于点 ，过点 作 ,、 E交 于点 ,连结 ,若 的周长为 ；图中的等腰三角形E36cm是 ， 的周长为 .DA3.如图，把边长为 的菱形纸片 放置在平面直角坐标系2BC中，已知 . 关于 轴对折后的对应线段 ，若B45oyAB与 交于点 ，点 的坐标为 .C4. 如图，在 中,连结对角线 , 是边 上的一点，且ABCDACED;过 作 ,连结 交 于

9、;写出图中所有1E2EFBFG的相似三角形 ，若,则 , . 6G5. 如图，已知菱形 中， ，过点 作AC5tan12AEBC于 ,若 ,则此菱形的面积为 .E16.有一块如图的玻璃，不小心把 DEF 部分打碎，现在只测得,你,AB60cm8c0B650ooo能根据测得的数据计算 的长？AD7.在 中， ， 垂直平分 ,且 .求证：四RtC:9C13、DEBCAFE边形 为菱形.EF8.如图，梯形 中， , , ；若 分别是 、,A2cm16c、AB的中点., 且 与 互余.求 的长度？DBEF9. ,点 是 的中点.求证： ,ABPP10.在 中， ,四边形 与 均为正方形， 的延长线交

10、于 .ABC90oABDECFGABDGP求证： 2P例 4.如图，一艘海上巡逻艇在 地巡逻，这时接到 地海上指挥中心的紧急通知:在指挥中心的北偏西 60方向的 地有一艘鱼船遇险，要求马上前去救援.此时 地位于 地北偏西C30的方向上， 地位于 地北偏西 75方向上. 两地之间的距离为 12 海里，求、AC、两地之间的距离.（参考数据： .结果精确到 0.01）.,.,214376245分析： 不是直角三角形，可以过点 作 交BBDA的延长线于点 ,这样可以把问题化归在 和DRtC .根据已知条件可以求出 的度数，Rt A、然后利用三角函数并结合已知的 可以求出、的长度即可求解.解：（由同学们

11、自我完成本题解答）.点评：例 1 至例 4 均是与三角形有关的计算与证明题，这类题型最关键的是要把问题化归在三ABCD1l23l4CE NDABCMOEFDABC CGEOCABEGFDCADBAxyDCBOE DPDHBC10题 图 DFBCAE 9题 图FA 8题 图FE 7题 图 DAB 北赵中 2016 中考数学专题复习和训练 三 第 5 页（共 10 页） 第 6 页 （共 10 页）角形中，特别是化归在直角三角形和等腰三角形中；解答时注意这些特殊三角形的三角形中位线定理、勾股定理、三角函数等知识点的支撑作用，同时也要注意全等三角形、相似三角形在其中的牵线搭桥；与三角形有关的计算和证

12、明常与四边形、圆结合在一起，这些图形中往往“隐藏”着特殊三角形、全等三角形、相似三角形等.我们要善于把它们挖掘出来.师生互动练习：1. 赵化中学公租房和周转房的右面紧邻着一个山坡，坡上是一块平地，如图 , ,斜坡 长为 26 米;为了减缓坡面防BCADEAB止山体滑坡，保障师生安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过 50时，可确保山体不滑坡.求改造前坡顶到地面的距离 的长（精确到 0.1 米）.如果改造时保持坡脚 不动，坡顶 沿 向左移 11 米C到 点处，那么这样改造能确保安全吗？F（参考数据： sin.,cos.,tan.,68093680376824o）sin.,t

13、a581241o2. 海中有一个小岛 ，它的周围 18 海里内有暗礁，渔船跟P踪鱼群由西向东航行，在点 测得小岛 在北偏东 60方向AP上，航行 12 海里到达 点，这时测得小岛 在北偏东 45方B向上如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由3.去年夏季山洪暴发，某市好几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过 时，45可以确保山体不滑坡某小学紧挨一座山坡，如图所示，已知 ，斜坡 长 30 米，坡角 改造后AFBC A60ABC斜坡 与地面成 角，求 至少是多少米？E45E（精确到 0.1 米）迎考精炼：1.如图， 是 斜边 上的高，将 沿 折叠，点CDRtABBCD恰好落在 边的中点 处，则 等于 （ ）BEA.25 B.30 C.45 D.602.如图， 的中线 和 交于点 ,连结 ,下列结论正确